Considérons une intégrale délinie

dans laquelle f(z) désigne une fonction monodrome doublement périodique de Tordre n. Si Ton remplace celte fonction par son expression au moyen de la fonction du second ordre A(gZyh)y qv|i admet les mêmes périodes (n*' 78), il viendra

L, M, N étant des polynômes entiers en i (g^)* L^ secoade intégrale, pouvant èire mise sous la forme

■dz

s'exprimera aisément au moyen de la fonction i. Quant à la première, on peut la ramener au cas où la fraction rationnelle

—■ ne contient que des puissances paires de X. On a , en effet,

L', L", M', M", P, Q, R étant des polynômes pairs ^ d'où

i dz

On obtiendra cette dernière intégrale en la mettant sous la forme

DES QU4DHATUES ELLIPTIQUES. l85

Il reste à étudier Fintégrale

dans laquelle P et R désigoent des polynômes pairs en X.

160. Avant d'aller plus loin , nous traiterons quelques exemples particuliers. Soit Fintégrale définie

/{z) = £ \{z)dz,

dans laquelle nous supposons le paramètre gf égal à Tunité. La fonctiony(z) n'est pas monodrome-, lorsque z tourne autour deTun des points qui rendent la fonction ^ infinie, elle s'accroît de zfc -7-5 mais la fonction F(-z ) = e*-^^*^ est monodrome. Des deux intégrales rectilignes

o Jo

la première, ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle; laseconde (il estbien entendu que Ton évite

l'infini par une petite courbe) est égale à it — : si Ton va de

l'origine au point z par le chemin rectiligne, ou au point TOW-f- 2 710)'-!- z par la ligne brisée mw -f- anw'-h ^, on obtiendra la même valeur de F (z) 5 cette fonction admet donc les deux périodes tù et2(ù\

On obtient aisément l'expression de la fonctiony(2) à l'aide des fonctions elliptiques. On a , en effet,

doù

(0 jr%(.)^3=iio6 -(^\-^;^-) .

l86 LIVRE IT.

L'int^raie définie

se ramène à la précëdeute. Si Ton pose

on a

Ou obtient aussi très-aisément les intégrales suivantes :

^(«)r/2 = -arcsin ^> (z),

(4) / ii(a)fi?s==arcsin>(z),