Occupons-nous actuellement de Finlégrale définie
dz
Nous avons trouvé au n'' 143 la relation
En prenant les logarithmes et diflférentiant, on en déduit
U^^z) </,(«- z) /tfO^ aM^)VW . es(a-h«j e3(a — z) ei(z) X'(«) — V(a)'
si Ion permute les lettres z et a , il vient
e;(z-f-a) tf,(z-a) tf^) 2>(«)V(a) Oa(« + «) Ô3(«-«J ^Ô.{a)~'V(a)-V(4
De cette dernière relation on déduit par Tintégratiou'
^ / ,X1(£)~ «(.]ie.(«)"*'2V(«)'**8 9.(a-..) Jo ^'{«) .
Si l'on fait X* («) = -» on aura l'intégrale cherchée.
Nouï avons trouvé aussi au n** 143 la relation
l88 LIVRE IV.
On eu déduit, en diiiéréYi liant par rapport à a,
e.(«-ha) B.iz-^a) . ©.-{a)."" . i — X-»V (a) V (z) ' OU ' .
Si Ton fait X' (a) = --> on- aura encore rinlçgrale cherchée.
Si le modulé k est réel et moindre que l'unité, et le paramètre a aussi réel, on emploiera de préférence la formule (ii) lorsque le paramètre a aura une valeur positive plus grande que l'unité, et la formule (i3) lorsque la valeur de a sera posi-^ tive et moindre que ft*; de cette manière la constante a sera.' réelle. Mais il est deux cas où Ton ne peut éviter les ioUipnaires, ce sont ceux où le paramètre a a une valeur positive «omprise entre A* et l'unité, ou bien une valeur négative. Ce» ' lieux cas se ramènent d'ailleurs l'un à Tautre. En effet, si lon^
remplace z par j — z' on a
J I-«V(3)~ J ,-.a4.(rt-.>?>)V(z'.).
/ Hz' I y- (il
Posons a' :== ; léqualion précédente ramène l'une à
l'autre les transcendantes qui correspondent attx deux paramètres a cl a^ Si a! est négatif, a cst*positif et compris entre A^eii.
163. Les intégrales que nous avoûs étudiées dans les deux iiuraéros prëcédenis suffisent pour déterminer l'intégrale
DBS QUADRATURES ELLIPTIQUES. 189
la fonction rationnelle F (X*) se décompose en parties de Ja RtSrme AA''^, /ti étant positif ou négatif, et en termes de la
orme — ^-t;^»' «w étant positif. Occupons-nous d'abord des
ermes de la première sorte.
Ou a
ftz dz
dz" dz'
5t, en remplaçant j-v-r; par leurs valeurs,
d*où
.^:rrw(/7î— i) p.^-Vs— w'(l-hA') i X'^ dz-hm {m -^ l) /^' Ç V^^'^ dz,
A Taîde de cette équation, quand on connaîtra I X'"~' r/^ et ll'"dzj on pourra calculer l X'""*'*Jz, et, de même, quand
on connaîtra i X"'"*"* rfs et i \"^dz^ on pourra calculer
/ i'"""*//^. Toutes les puissances paires, positives ou ncgalives, se ramènent ainsi aux deux intégrales
qae nous avons exprimées à l'aide des fondions (n° 161). Ces deux .intégrales se réduisent d'ailleurs à une seule, en vertu de la relation (n° 141)
d'où
ou
IQO LIVRE IV.
164. Occupons-nous maintenant des termes de la seconde sorte. Désignons par y la fonction doubleçient périodîqùi
X« (jg) -+.Û, dont les périodes sont - et w' et qui admet Tin* fini double — Si, dans l'équation
on remplace X* par j — a, il vient
r -4(i4-/^-h3/-'«)-h4^'r> ^ logr 4g[i-h(i-+-^^)fl-f-^'g']
Cette équation donnera / ^> connaissant / — (n° 162). De l'équation (iS), on déduit
l'on remplace (^V et ^ par leurs valeurs dans l'équa-
SI
tion
il vient
^,6) ^Lz: = - 4/» (m - 1) fl [i -+- (i 4- ^») « -+- ^'û']^"«-'
