P-+-QR P'— Q»R

QR

M, N, P, Q étant des polynômes entiers en Xj F et F, des

fonctions rationnelles, on a

J/(x, R) rf.r = Jp\ (x) Ar 4- Jf (x) J.

La première intégrale s^ obtenant aisément, il reste à étudier la seconde

Par une transformation facile, on ramène le polynôme R* à ne contenir que des puissances paires. Soit

si l'on pose

ou aura

d'où

192 LrVRTE IV.

et Ton fera disparaître les puissances impaires, en assujettissant les deux constantes a et h à vérifier les deux relations

(«-7)(*-^)H-(«-<î)(^-7) = o, ou

2/ii> — (a H- p)(a 4- *) -h 2aB = o,

nab —(y -h$){a -\- b) -h 27^ = o;

"""^ ~aH-p-(7-f-d^)'

ab = «Plvjli)- Vllî -t.?) aH-p — (7-H^)

Lorsque le polynôme R' a ses coefficients réels, ce qui a lieu ordinairement, ses racines sont réelles ou imaginaires conjuguées, et les deux constantes a et t peuvent être supposées réelles. En effet, ces deux constantes dépendent d'une équation du second degré, dans laquelle la condition de réalité des racines est

ou

Si le polynôme R* a ses quatre racines réelles, comme on peut les supposer rangées par ordre de grandeur, la condition précédente' est remplie 5 si les deux racines a et |3 sont imaginaires et les deux autres réelles, les facteurs a — y, (3 — y étant conjugués, ainsi que les deux autres a — (î, P — â^ le produit est positif 5 enfin si les quatre racines a et (3, y et d sont imaginaires et conjuguées deux à deux, les facteurs a — 7, |3 — d étant conjugués, ainsi que a — (î, (3 — 7, le produit est encore positif.

A la vérité la transformation précédente est en défaut quand

DES QUADRAT4JRB8 ELLIPTIQUES. ig^

mais, dans ce cas, on a

et, pour faire disparaître les termes de degré impair, il suffit de poser

Nous avons supposé le polynôme R* du quatrième degré; la même transformation réussit, s'il n'est que du troisième degré. Soit

en posant, comme précédemment^

on aura

lb-a)df

etlon assujettira les deux constantes a et 6 à vérifier les deux

relations

a — a*-h^^— ot = o,

d ou

La condition (a — P) (* — V)^^ étant remplie, .on trouvera poar les constantes des valeurs réelles.

Lorsque le polynôme est du troisième degré, on opère plus rapidement la transformation en posant x = a +/*, a désignant une racine réelle;

Nous admettrons donc que, dans Tintégrale

le polynôme R* ne renferme que des puissance» paires. On

peut supposer aussi que la fonction rationnelle F (x) ne renferme elle-même que des puissances paires 5 car si Ton met cette fonction sous la forme

= F.(x»)-4-:rF,(^'),

M, N, P, Q désignant des polynômes pairs, Fj et Fj des fonctions rationnelles, on a

On obtient aisément la seconde intégrale en posant x' =/; il reste donc à étudier l'intégrale