FM

dans laquelle R désignée la racine carrée d'un polynôme pair à coefficients réels,

R= v/A(i-h/wj:»)(i-f-/w'jr').

i66. Nous nous proposons maintenant de réduire ce radical à la forme ^(1 — X') (1 — A*X*), qui convient aux fonctions elliptiques, et de manière que le module k soit réel et moindre

, dx que Tunité. Il faut pour cela transformer l'expression — en une

autre de la forme

^v/{i-v)(i-^nO

Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que les trois coefficients A, m, m' sont positifs ou négatifs.

i""^ Cas. A = a*^m = — A', tn! = — A'% A > h'. On posera

d'où

dv rf>

i^' Cas. A=a% m=i — h^^ m' = W\ Le radical n'étant-»

DES QUADRATURES ELLIPTIQUES. ig5

réel qu'autant que x varie de o à - j on posera

hx = v^i — V, d'où

dx^ — </X

'il^ Cas. A = a', m=zh^^ m' =^h!^^ h^h\ x pouvant varier de o à oo , on posera

hx == ■ j

d'où

dx d\

4* Cas, A = — a', m = — h^^ mf = A'*, x variant de v à X , on posera

d'où

I 5*^ Ca5. A = — a% m= — A% m' = — A'% 7i>A'. a: va-

j I , I riant de t a p-» on posera

d'où.

Nous laissons de côté le cas où le radical serait toujours imaginaire. Dans toutes ces transformations, le module est réel, ei

moindre que l'unité. L'intégrale

est ainsi ramenée à la forme

A X représentant, comme à l'ordinaire, le radical

Cette intégrale est celle dont nous nous sommes occupés au commencement de ce chapitre ; car si l'on pose

i désignera la fonction elliptique X (z, Ar), et Ton aura

167. Il résulte de ce que nous avons dit aux n*** 163 et 164, que toutes les intégrales de la forme

dépendent des trois intégrales

C'est en cherchant à réduire IHntégrale

^f{x,K)dx

à ses éléments les plus simples que Legendre a été conduit aux trois transcendantes dont nous venons de parler. Pour Iui,x était la variable indépendante, et la valeur de l'intégrale la fonction. 11 a abordé ainsi, par les fonctions inverses, la théorie des fonctions doublement périodiques. Aussi la double périodicité, qui est le caractère fondamental de ces fonctions, lui avaitelle échappé complètement.

DES QUÂDRiTURES ELLIPTIQUES. IQJ

La preniière transcendante est Tinverse de ce que nous appelons la fonction elliptique X; si jr = X (z), elle aura pour valeur la quantité z que Ton pourra augmenter de multiples des périodes Gi), tù\ suivant le chemin suivi dans Tintégration. Ayant adopté un signe pour désigner une fonction directe , il convient de le modifier de manière à représenter la fonction inverse. Nous ferons précéder le signe de la fonction directe de la lettre I, initiale du mot im^crse. Ainsi nous écrirons

a: = \(z), z=zl\(x).

D'après cela, on a

* dx

La seconde transcendante a été calculée au n** 161 :^ on a trouvé

^ ' A* A^ fiz

La troisième transcendante, mise sous la forme

da: Ç' dz

a été trouvée aussi au n* 162.

C'est à Jacobi que Ton doit Texpression si remarquable de la seconde et de la troisième transcendante à Taide des fonctions 9.

Legendre simplifiait un peu les trois intégrales précédentes

imposant (i08}

jc =r sin ff.

On a alors

JÇ* x^dx r^ sin^cprf^p J^ T'' dff o ^-^ ..^o v^i — ^'sm^tp ^'«/o \/i — A'sin'©

— i / s/i-A'sïn'ffdff,

Jo (i — flfj:')A« X (i — /isin»(p)v'i — *'sin^ep'

et les trois intégrales se ramènent aux trois suivantes :

t/o V I — A-' sin' y (H) /. Vi — /'sin»»rf(p,

Jo (i — û sin*ç yi — /*sin'(p

Ce sont là, à proprement parler, les trois fonctions elliptiques de Legendre. 11 représentait la première par le symbole F (9, A), la seconde par E((j), Ar), la troisième par n(?,/r,a).

On a donné à ces intégrales le nom de fonctions elliptiques , parce que la seconde donne la longueur d'un arc d'ellipse. Soit en effet l'ellipse ayant pour équation

on peut poser

X = asiriff, y = b ces y ,

et la longueur de l'arc d'ellipse, compté à partir du sommet du petit axe , a pour expression

^'sin*<p rfy,

e désignant l'excentricité de l'ellipse. L^an^e (f a une signification géométrique très-simple 5 si , sur le grand axe , comme diamètre, on décrit un cercle, que de l'extrémité de l'arc on abaisse une perpendiculaire sur le grand axe , et que Ton prolonge cette ordonnée jusqu'à la rencontre du cercle, le rayon qui va du centre à ce point du cercle fait avec le petit axe l'angle y.

ADD.ITION DES FOUCTIOKS ELLIPTIQUES.