Considérons la fonction monodrome doublement périodique

dans laquelle nous regardons t comme une constante et « comme la variable. Cette fonction impaire, qui a les mêmes périodes que A(^), admet quatre infinis, savoir, les deux infinis z = 1 et z =z « de / (z -f-f ), et les deux infinis

z = ht et z=: ht de A (^ — t). Elle admet aussi

quatre zéros : en effet , pour que/(z) soit nulle, il faut que

ce qui exige que

z-\- tz= t — 5 + mw-4- «&)', ou

z~ht= (t — z) -|~ ww -h «w ;

, ., ,. . w ww /îw'

mais cette dernière condition t = -r -\ 1 ne peut

avoir lieu, puisque t est quelconque *, la première

z = Jonnc les^quatre valeurs

de ces quatre zéros de la fonction/ (z), les deux premiers sont les zéros, les deux autres les infinis de X (2 ).

Il est facile de former, au moyen de la fonction X (z), une fonction doublement périodique qui admette les zéros et les infinis de la fQnction/(z). Considérons en effet la fraction

Le premier faqteur du dénominateur s'annule pour le second pour

2= h- t et z = t;

ft> 6) -t- W •

x= t et z = \- t;

ces quatre valeurs sont les infinis de/(r), ainsi la fraction admet dqà les infinis de/ (z). Le numérateur s^annule pour

zz=o et « = - :

ce sont les deux premiers zéros de/(r) ; d'autre partie numérateur étant du premier degré et le dénominateur du second degré, les deux valeurs

ç = — et « = >

qui rendent X [z) infinie, sont des zéros simples de la fraction; de sorte que la fraction admet aussi les zéros de / ( 2 ) . Ainsi la fraction considérée, que Ton peut mettre sous la forme

MjO ,

[*'"-în7)]['<"*î>i;)]'

a les mêmes zéros et les mêmes infinis que la fonction f{z). Mais nous savons (n® 39) que lorsque deux fonctions ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, ces deux fonctions sont égales

à un facteur constant près ] on a donc

Pour déterminer la constante A, on prendra la dérivée, puis on fera r = o, ce qui donne 2 )/(/)== A. Il en résulte

(.) M» + 0-HM»-0= ,,V(.)xv) -

Si dans cette équation on permute les lettres z et f, il vient

En additionnant ces deux équations, on obtient la formule suivante

qui est connue sous le nom de Théorème de V addition des fonctions elliptiques, La démonstration que nous en avons donnée est due à M. Liouvîlle.

169. Le même mode de raisonnement permet de trouver Texpression de fz (z H- /) et celle de v (z + /). La fonction impaire

dont les périodes sont w etw'n — 5 admet les infinis de chacune des deux fonctions (jl(z -h /) et /:/ [z — «), et par conséquent lesjinfinis des deux fonctions X(z-|-z) et \[z — f ) , comme précédemment. Pour annuler cette fonction, c'est-àdire pour rendre |u ( « + f ) égale à /ui (5 — <), il faut que

d'où

ce tic fonnulc se décompose en deux

z= (2/ii'-m)7 4-(2/i'4- i) — »

suivanlque Ton atliibue à n des valeurs paires ou impaires; la première comprend les zéros de X (z) , la seconde ceux de v(2). Ainsi les zéros delà fonction proposée sont ceux de la fonction

On a donc

En prenant la dérivée et faisant z = o, on trouve il en résulte

La fonction paire

^(z-f-O-l- f^(3admet encore les mêmes infinis que la précédente. Cette fonction s'annulera si

ce qui exige q'ue

(--4-2— /] -f-/ww4-/î(«'-f--J9 d'où

cette formule se décompose en deux,

zzzzm' — \-(in -\- i J — T

Z -f- r = db

Addition des fonctions elliptiques. 2o3

suivant que n est pair ou impair. La première comprend les zéros de fjt (r), la seconde les infinis de i (3). On a donc

En faisant 2 = o, on trouve a |ui (/) = B. Ainsi

et, par suite,

(II) p(z4-0 = ^(^^^'^^-<(^)^^^^^.

170. On obtiendra v (2 + f ) de la même manière. La fonction impaire

dont les périodes sont - et aw', admet les infinis de l(z-h t) et ceux de "k (z — f ) 5 elle s'annule quand

c'est-à-dire quand

cette formule se décompose en deux,

zz=m' — h«w',

3 = (2w'-f-l)7-4-/îw',

suivant que m est pair ou impair; la première comprend les zéros de i (z) , la seconde ceux de fjt (z). Ainsi la fonction proposée admel les mêmes zéros que la fonction

Un a donc

i-^Pl'{z)V{t)

ao4 LIVRE v.

En prenant la dérivée et faisant z = o, on trouve

2y(/)=: — AA-»; d'où

La fonction paire

s'annule quand

v(2-hf) = — v{z — Z') = v(w'4-z — f), c'est-à-dire quand

d'où