Des formules précédentes, on déduit
..,, , ^> x(»4-o >(»)V(0-»-x(oy(«) ''^*-^'^-f.(«H-O~(*(*)f.(0-(*'(«)(»'W
et, si Ton remplace les dérivées par leurs valeurs,
On en déduit encore la formule
f*(^-^0 = f*(«)p(0-M«)MOv(« + 0»
â laquelle on arrive par la considération d'un triangle spbérique. ^ On a aussi
et, par suite,
Addition des quadratures elliptiques de seconde espèce,
172. A la transcendante E de Legendre (n^ 167), nous substituerons , avec Abel et Jacobi , la fonction monodrome impaire
Jo avec laquelle elle a une relation très-simple et nous la désignerons par ^ [z).
L'équation
X (, + ,) M* - - 7^r7îvii)V(^ '
dans laquelle on met le développement de X ( 2: + ^ ' devient
si l'on remplace z par z -h t ^ et 4U5 Ton permute ensuite les lettres z et f , on a
Le premier membre étant une différentielle exacte piar rap-
port à z, on trouve en intégrant
Puisque
V(z-ht)dz= I V{z)dz=z I \^{z)dz— I y}(z)di, Jt Jo Jo
on obtient Téquation
de laquelle on déduit facilement celle qui a été donnée par Legendre pour Faddition des fonctions de seconde espèce.
173. On peut déduire cette formule de l'expression delà fonction \p (z) à l'aide de la fonction 0. On a (n® 161)
(.0) ^(.)=i.[,9".(o)-li^)],
et y de même ,
d'où
Puisque (n** 143)
cette équation devient
On en déduit, en permutant les lettres z et t,
;l, par suite,
Addition des quadratures elliptiques de troisième espèce»
174. Jacobi a substitué à la transcendante de troisième espèce de Legendre la fonction impaire
[juil représente par le symbole H (-z,a) , la variable z étant V argument^ la constante a \e paramètre. Cette fonction s'exprime aussi à l'aide de la fonction 0; on a (n° 162)
. , , , r/IoffÔ, (a) I , ô, (z — a)
^ ' ' ' doL 2 ^ Ô, (z^a)
On a de même
, ^/logô, Ca) I , ô, (r-— a)
n(zH-^ a)= z-4-0 — , ^ +-l^>g;r-7 ^»
et, par suite,
1 n(z 4-r, a)— n(z, a)— II(/, a)
(i2) ] I, 0,(r-4-a)ô,(z-f-a)0, (z-f-^— a) ' I = — loî* — ^ — ^ — ^^ •
L'expression
dans laquelle nous regardons z comme la variable et que nous désignons par F (^), est une fonction monodrome doublement
périodique, aux périodes - et «', comme on le reconnaît aîsé-
»»ent d'après les propriétés de la fonction 0. En général, la fonction
Q(z-ha)0(z-f-p) 0(z-|-a')©(z-f- p')
admctlra la seconde période w' si la condition a -h (3 = a' -+- j3' est vérifiée; ce qui a lieu dans le cas actuel. La fonction du second ordre F [z) admet les deux zéros
et les deux infinis
et se réduit à Puni té pour z = o.
On remarque que les infinis ne diffèrent des zéros que par le signe de a.
17S. On peut exprimer de plusieurs manières cette fonction F (z) au moyen de la fonction X. Considérons la fonction doublement périodique du second ordre
GJ
aux périodes -? w', aux deux infinis z = — )« = 13, dont
la somme est égale àw' — [3. Pour exprimer la fonction F {z) au moyen de la fonction y* (2), on posera
et Ton déterminera les constantes par les relations
de manière que les deux zéros de F (z) annulent le numérateur, et les deux infinis le dénominateur {n? 74). Ces quatre rela- !
ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. aOQ
tioDs se réduisent à trois, et donnent
'=aH ^+T'
et Ton a
OU
.-.■,(-„l^).(-„aL).(..!^).(..-^)
La valeur de P est arbitraire. Si Von fait en particulier @ = r , on a
p . ^ I -h An (g) X (g) M^ — «) M^ + ^ )
176. On arrive à une expression plus simple en employant les deux fonctions du second ordre
-qui admettent, la première les deux infinis
dont la somme est — « -— a H- w', la seconde les deux infinis
z=:— ? z=: — f-f-aH 9
dont la somme est — «-!-« + w'. Considérons la fraction
les valeurs z= — f+aH 9 2 = — t — «H — , rendant
iafinis, la première le dénominateur, la seconde le numérateur, la fraction admet déjà un zéro et un infini de F [z). La
valeur z = — ? qui rend infinis à la fois le numérateur et le
dénominateur, n'est ni un zéro ni un infini de la fraction. Nous pouvons disposer des constantes q et q' de manière que les
valeurs z =z — ol-\ •> 2 = aH 9 annulent, la première le
numérateur, la seconde le dénominateur^ nous poserons pour
cela
Le second zéro du numérateur et celui du dénominateur étant
égaux tous deux à — t-\ 5 ne rendent la fraction ni nulle ni
infinie. On a donc
OU
et, par suite,
in(z-h ^,a)— ll(a,a) — n(r, a)
C'est la formule trouvée par Legendre.
177. On obtient encore une autre expression de la manière suivante. De l'équation (12) on déduit, en changeant le signe de t^
ADDJTIOM DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ail
d'où
et, en vertu de la relation (24) du n° 143 dans laquelle 011 remplace z par z — a ou par z -|- a »
On en déduit , en permutant les lettres z et f ,
n(.-HO~n(..,0-^n(0=;log ^^^,^,|^;^,;^^^; ,
d'où
În(3 + ^, a) — n(«, a) -- n(r, a)
II en résulte cette troisième expression de la fonction F (2),
178. Nous nous sommes occupés de Faddition de'Fargument dans les fonctions de troisième espèce; on obtient des formules analogues pour l'addition du paramètre.
Voyons d'abord ce que devient la fonction quand on permute l'ai^ument et le paramètre. L'équation (ii), en vertu de la formule (10), peut être mise sous la forme
(.73 n(.,.) = a.e*.(o)-*'zM«)+^»og®j^|f^-
Oa a de même
n (a, .) = azS: (o) /•' «,|- (z) + i log ^f^} 5
ai 9 LIVRE T. ,
d'où
(l8) ri (z, a) - n(a, z) — i' [a^(z) - z^Ka)].
On en dëduit H (z, a -H P) — n(ot H- p, z) = X»[(« -h 6)4. (s) — zf (a -f- p)l,
et, en vertu des équations (V) et (VI) ,
