Si, dans la formule (n

on fait

a = (#» 4- i)«, ù = mz^ il vient

, V ^ / A ^ X'(«l-+-l)«— V(WZ)

' ^ ' I — *'V(/ii -f-i)z.X'(iifa)

On a, d'autre part,

Ce sont les deux formules que nous allons employer. Posons, en général ,

Qm étant un polynôme entier en X (z), P^ un autre polynôme

entier si m est impair, et le produit d'un polynôme entier par

A^(z) si m est pair^ nous supposons dans tous les cas les deux

polynômes premiers entre eux, et comme d'ailleurs les zéros de

p2 l'(-8) ne rendent pas infini X (mz), la fraction ~ sera encore

irréductible dans le cas où m est pair.

L'équation (2) donne

en désignant par R« le radical ^/(Q^— P;) (Q^ — *« P^). Les deux fonctions, P»»Q,wRmï Qi. — Aï' Pi,, ne pouvant s'annuler simultanément , on a

L'équation (i) donne

Q«H., \(z) QÎ.+,Q,^ — *'PÎ.+,Pi

2l4 LIVRE V.

Les polynômes, P,U.Q1 --P,Î.Q,:.^,, Q,UQ« — *'P«+.P«m sont premiers entre eux. Supposons, en effet, qu'ils deviennent nuls pour une même ^valeur de X (z) ; cette valeur, ne pouvant annuler aucune des quantités P„, Q„, Pm+M Q»n+i9 satisferait aux équations

X»(/w -4- i) « = ^* (mz). A» (m -h i)z.V [mz) = -^^

d'où

A»(m-Hl)«= V(/W3) =±-r-

D'autre part, on a

__ V(/ii-4-i)g — A*(wi) ,

X(w -f i)z>' (/wz) — X/w«X'(/n -H i)z'

on devrait donc avoir pour cette valeur de ^ (-s),

/(//i -\-i)z y (mz) -\- X (///z)V(/w-f-i)z = o, >(/w -h i)3X'(wz) — 'k{mz)'k'{m 4- i)z = oj

d'où

X(w -h i)z.y(fnz) = o,

c'est-à-dire

V(w + i)z[i — V(ma)][i — k'V{mt)]^ o, résultat incompatible avec la condition trouvée précédemment

V[mz)=z'k'{m-^i)z^ = ±:j- On aura donc

Si l'on part des valeurs Pj == i (z), Q^ c= i , les formules (3) donneront Pj, Qj, puis les formules (4) Pj, Qjj les formules (3) donneront ensuite P4, Q4, puis les formules (4) Ps, Q5, et ainsi de suite indéfiniment. On voit que P,', est un polynôme du degré 2h^ ou du degré an' — 2, suivant que n est impair

MLLTIPLICATIOK. 3l5

011 pair^ comme dans le dernier cas il a pour facteur le polynôme du quatrième degré 1'* (z), il en résulte que P„ est un polynôme du degré n} si n est impair, et le produit de )l(z) par un polynôme du degré /i* — 3 si /i est pair. Q„ est un polynôme du degré n} ou n' — i , suivant que n est pair ou impair. Nous observerons encore que Qi et Qi ne contenant pas de terme du second degré, il eu sera de même de Q5, Q4,

Calcul direct de 'k[nz),

\ SI . On peut se proposer de déterminer directement X ( nz ) , sans calculer X (az), 1 (3-z), ....

Supposons d'abord n impair. La fonction \[7iz) est une Fig. 3o. fonction elliptique qui a pour

périodes -, — . ses infinis sont

— » 1 ; ses zéros o, —

un in in in

Soit OACB [fig* 3o) le parallélogrammeélémentaire delà fonction X( ^ ) ; divisons chacun des côtés OA5 OB en n parties égales, Oui chy sera le parallélogramme élémentaire de la fonction \\nz) \ le premier contient n^ fois le second , il renferme 2w* infinis de la fonction X («z)

kA 2fr zéros,

yy w-f-ryw

chacun des nombres entiers p, y recevant les n valeurs o, 1 , a,..., n — I. Les sommets des parallélogrammes de la fonction )^{n z) correspondent aux zéros a , pour avoir les zéros a

il suffit de déplacer le réseau de la quantité — ; de même pour

2l6 LIVRE V.

avoir les infinis a, il suffît de déplacer le réseau de la quaii^ lité — ; un second déplacement — donnera les infinis a'.

On peut grouper chacun des infinis a avec un infini af de manière que leur somme soit équivalente à - ; l'un des groupes

est — > • Soit L le produit de tous les facteurs binômes

qui correspondent aux infinis a, — excepté ; ce polynôme ad-

1 . /» . t ^ «' ' » -4- w' met comme zéros tous les munis ocel a: ^ excepte — et •

De même on peut grouper chacun des zéros a avec un zéro a' de

manière queleur somme soit équivalente à -; l'un des groupes

est o , — Désignons par M le produit des facteurs binômes

[\{z)-\(a,)][\iz)-l{a,)]... [X(*)-l («»,.)], qui correspondent aux zéros a , o excepté *, ce polynôme admet comme zéros tous les zéros a et a', excepté o et —

Les fonctions X ( /i a) , — -L-' ont toutes deux pour périodes

0), o/; la seconde ayant pour infinis simples — > » puis*

que le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur, les infinis et les zéros sont les mêmes dans chaque parallélogramme , donc le rapport des fonctions est constant et l'on a

(5) X(Mz)=Çl(z)^.

On reconnaît facilement que les polynômes entiers M et L, qui sont du degré n* — i , ne renferment que des puissances

paires de X ( z), puisque les infinis de la suite a, -r excepté, et

les zéros de la suite a, o excepté, se réunissent par couples ayant pour somme co.

182. Considérons maintenant le cas où n est pair. On peut réunir deux à deux les infinis a par couples ayant la somme

et de même les infinis a' ^ aucun de ces infinis n'est égal à

ceux de 1 («). Appelons L le produit des w' facteurs binômes

les nombres ai, a„ ... a„i, étant pris un dans chaque couple. La suite a ou la suite a', suivant que n est de la forme 4^'

oude]aforme4'»'+a)Comprendles termesd: -^» — 7 ^ H"^

sont les zéros de X' ( z ), les autres termesde chacune de ces suites

se groupent comme les infinis \ l'un des groupes est --) >

un autre o , — Désignons par N le produit des n* — 4 facteurs

dont chacun correspond à Tun des couples formés , excepté les quatre précédents.

Les fonctions X (nz) ^ ^ ^(^) ^' i^)^ *"^ périodes w et «',

çnt , dans chaque grand parallélogramme , les mêmes zéros et

les mêmes infinis^ car - X ( z) X' (z) devient nulle pour z = —

et pour

On a

donc

K(nz)

iz)l'{»

On reconnaît, comme dans le cas de n impair, que les deux polynômes N et L , le premier du degré n* — 4 » 'e second du degré n*, ne renferment que des puissances paires de X [z).

Calcul ftcs coefficients, 183. Soit en premier lien n impair, désignons / {nz) par p»,

^l8 LIVRE V.

A ( z) par II , el posons

Si Ton fait z très-petit, le rapport- tend vers n; donc a^ = n. Remplaçons z par — h 25 il vient

n se cliange en-— et t^ en -- : d ou

, — ^««-' ^^ + ^ii«-3 >^' ^' -t- ^««-5 ^* rt' 4- . . . -hX"'-' l i"'

1/ideniification de cette valeur avec la précédente donne les relations

^'- = fli,^< =«4,..., A"*-3 =^««-., =tf««-.

A — 0| , AT — . C?|,.. ., n — *'/,î 3j *'««— I »

qui se réduisent à

Nous avons démontré (n° 180) que Ton a t, = o 5 la relatiou A'^2„i 8 = ft, a„s, donne a„i 3 = o.

w^— 3 Il ne reste plus à déterminer que les quantités a^ ,

«4, . . . , a„t 8 et le signe de «„•.!. Pour y parvenir, on peut, par exemple, développer j^, m et ses puissances, suivant les puis- " sances ascendantes de la variable z et égaler les coefficients des

mêmes puissances de la variable dans les deux fonctions

^'[i-h^aM'-h b^u^-h . ..1, tt[/H- £7, a'-h «4 tt* -+- . . . ] ;

on obtiendra ainsi autant d'équations du premier degré qu ou le voudra entre les coefficients inconnus.

L'identification des deux expressions de 1 [nz) montre que les deux fonctions ^ et ^ satisfont aux relations suivantes :