Soit en second lieu n pair. Posons

Le coefficient âo est encore égal à «. Si Ton remplace z par — h-z, w se change en — j v' ne change pas, et Ton voit, d'après la relation

qu'il faut remplacer

V(i — a»)(i — A»a') par -- -^ ^(, — «')(,» X'w') . I L'identification des deux expressions de u donne les relations

LHi — 2 ..

d'où bnt-i = , 6„2 = ^ '^ , /î„*__4 ^ o.

En substituant cette valeur de è„î dans les relations précédentes, on obtient les rapports de deux roeflfjcionls équidis-

aao LIVRE V.

tants des extrêmes dans les deux polynômes qui servent à exprimer la fonction u.

Les fonctions 9 et tj^ vérifient les deux relations

185. Les fonctions f (u) et ip (u) satisfont à deux équations diiTérentielles du second ordre qui pourraient également servir à déterminer leurs coefficients.

On a en effet

dtt

= dz,

d'où

On peut écrire cette équation sous la forme

on en déduit, en la difiërenliant ,

Posons , pour abréger,

„^^ n — t% 12 ,m3 /t i i-« \ Mi —

2 du

I dk

puis remplaçons w» par le quotient t4-tï l'équation précédente devient

Si n est impair , les fonctions 9 et <j/ étant des polynômes premiers entre eux , les deux fractions précédenles ne peuvent devenir infinies pour aucune valeur finie de la variable u^ et , par conséquent, se réduisent à des fonctions entières; il est facile de voir, en outre, que les degrés de leurs numérateurs surpassent de deux unités ceux des dénominateurs; donc les quotients sont du second degré et de la forme

Ca^-f-D.

Kn faisant u = o dans la seconde fraction, on obtient

■>=(^îL=--

En ordonnant les deux termes de la première par rapport aux puissances décroissantes de li , on trouve «* A* i«* pour premier terme du quotient; ainsi

Les fonctions ç et ^ satisfont donc aux équations

i4'S-(^)']+-'S-'-»'-'-vi=.,