CHAPITRE III

187. On donne X (i;) , il faut déterminer X ( - ) » « étant un

entier 5 c'est l'opération inverse de la précédente.

Dans la formule par laquelle on exprime i (i^) en fonction

de 1 (^), remplaçons z par -9 nous aurons l'équation à la résolution de laquelle se ramène la question proposée.

Considérons en premier lieu le cas où n est impair^ désignons par 1^ la fonction donnée 1 [z) et par £1 l'inconnue ^(-)' L'équation qui donne u est une équation du degré n* (11° 183),

ses racines sont les diverses valeurs que prend la fonction

i ( — I — ) î dans laquelle les lettres p et g reçoivent

toutes les valeurs entières de o k n — i .

La somme des racines est égale à i^ -^^, et leur produit à

t» . Mais nous avons trouvé {n° 183)

»/it i

il en résulte

formules qu'il est facile de démontrer directement.

188. Abel a démontré que Téquation (i) jouit de la propriété remarquable d'être résoluble algébriquement. Soient en effet a et {3 deux racines quelconques de l'équation binôme

x" — I =r o ; posons

La fonction F a pour périodes w et w'; car si l'on augmente zAetù^el que Ton multiplie chacun des termes de la parenthèse par a , ce qui revient à multiplier la puissance n*''"* par a" ou par Tunité, les termes d'une même ligne horizontale se permutent circulai rement 5 si l'on augmente z de w', et si Ton multiplie par (3 , la permutation circulaire s'opère entre les termes d'une colonne verticale. La fonction F(2,a,/3) peut donc s'exprimer rationnellement au moyen de. A (2) et

2 24 LIVRE y.

de sa dérivée , et Fou a

L, M, N étant des fonctions entières de X (z).

Chaque couple a , |3 de racines de Téquation binôme fournira une équation analogue à la précédente. Si Ton ajoute membre k membre, en groupant ensemble les termes dans lesquels p Giq ont les mêmes valeurs , on voit que le multiplicateur de chaque groupe est nul , à Texception de celui du premier groupe qui se réduit à n*. On aura donc pour M - ) une expression de la forme suivante :

Le premier radical, celui qui correspond à la combinaison a = P = I, en vertu de la relation (2), a pour valeur /iX (z).

189. On peut calculer les polynômes Lt, M*, Nt, L9 ,..., de la manière suivante.

Développons chacun des termes de la somme

ISK^'^'^)"'-

d'après la formule qui donne X(zH-^), cette somme prend la forme

R et S désignant des fractions rationnelles composées d'une manière bien déterminée avec X ( - ) , ^ ( "" ) ' -^ ( ~ ) ®^ '^

deux racines a, @ de l'équation binôme. La puissance w**'"* de cette quantité est également connue et de même forme ; nous

la désignerons par

Imaginons actuellement que Ton calcule la fonction

cette fonction admet, comme la première, les périodes a>, dd', et Ton voit facilement qu^elle s'exprime ainsi :

F.(z,«, p) = R. -S.V^îV

Puisque les deux fonctions F et Fi restent invariables quand on augmente zdetù ou de co', il en est de même de leur somme et de leur produit

Ces deux nouvelles fonctions étant des fractions rationnelles de i ( - ) qui ne doivent pas changer quand on remplace

H - I par l'une quelconque des racines de Téquation (i ), on

peut les exprimer par des fonctions symétriques des racines de

cette équation, et, par suite, en fonction rationnelle de ^ (2).

Il résulte de ce qui précède, çue Von peut exprimer algé-

hriquenient ^ (- ) en fonction de X (z), des racines n*'"""* de r unité, rfe X ( - I et de X ( — I .