La formule par laquelle nous avons exprimé X

renferme n* — i radicaux d'indice n. Si Ton combinait leurs valeurs de toutes les manières possibles, le nombre des combinaisons surpasserait le nombre des valeurs de l'inconnue ;il y a donc un cboix à faire parmi ces diverses combinaisons. Nous allons exposer une solution plus simple du problème de la division qui ne présente pas cet inconvénient.

ib

Posons

puis

- .." '© +"' (^^^) ^''''f{î.-^''iy- ■

a étant une des racines de l'équation binôme x" — i = o. La fonction ^ (-? «) admet pour périodes « et w'^ car lorsque ^

augmente de w, 9 (- ) ne change pas, et, si Ton augmente «

de 0)', en multipliant en même temps les termes de la parenthèse par a , les termes se permutent circulairement. La fonction ^ i-f a) peut donc s'exprimer rationnellement à l'aide de X (-z) et de sa dérivée. Soit

A, B, C étant des polynômes entiers en X («), que l'on calculera ainsi qu'il a été expliqué au numéro précédent pour F [z^ a, (3). On a donc

^"/ A + BViz)

Si a désigne une racine primitive de l'équation binôme X" — I = o, les n racines seront représentées par

chacune d'elles donnera une équation analogue à la précédenlc; si roii ajoute ces équations membre à membre, les termes de

DIVISION. y 27

chaque colonne verticale, à rexcepiioii de la première, ayant une somme égale à zéro , il vient

En vertu de la relation (a), le premier radical a pour valeur Le produit

L *-il--i—>~)j

ne change pas quand z augmente de w'5 ceci revient à diviser le premier facteur par a"-^ et le second par a^ 5 ce produit a aussi pour période qi> ^ on peut donc Texprimer en fonction rationnelle dé X (^) et de sa dérivée; nous le représenterons

par

Il en résulte

(5) i/^p±MS£i ^ j^L r^±.«'^)i "

On calcule les polynômes entiers F^, G^, H^, de la même manière que les polynômes A , B , C. Quand on aura substitué à la place des divers radicaux leurs valeurs en fonction de

1/ —^ , 1 expression de «p ( - 1 n aura plus que n valeurs distinctes, ainsi que cela doit être.

191. La fonction ? ( - ) étant déterminée, on cherclie il - I . A cet effet, on pose

a désignant toujours Tune des racines de Téquatioii binôme X" — I = G. Les fonctions x("'") ^^ ?(") ^y*'^^ ^^

mêmes périodes o) et /ta/, on peut exprimer la première au moyen de la seconde et de sa dérivée, et Ton aura

a, b ^ c étant des polynômes entiers en cp f - j.

Si l'on développe chacun des termes 1 (- +/>- J, leur de ;f ( -, a I se présentera sons la forme

la va-

A, B, C étant des polynômes entiers enX ( - V La valeur de

;^f-»a j ne change pas quand on remplace ^ ( - ) par

X ( - -t- p - ) 9 c'est-à-dire lorsqu'on remplace ^ ( - ) par l'une quelconque des n racines de Téquation

DIVISION. ^2g

dans laquelle, après avoir développé chaque terme cl remarqué que ^'{ - ) disparaît, on regarde ^ ( - ) comme Tinconnue.

Le calcul de jj f -, « J en fonction de 9 ( - 1 s'efTectuera encore

de la même manière que celui de F (^, a, j3) en fonction de ^(z) , en remplaçant Féquation (i) par Féquation (6). On aura ainsi

En opérant de la même manière pour chacune des racines «0, a% a*,..., a"""* de l'équation binôme, et ajoutant les résultats , on obtient la formule

Chacun des radicaux s'exprime par une puissance du premier ; en effet , le produit

admettant les deux périodes tù et nw! comme la fonction y I - J , s'exprimera ralionnellement au moyen de la fonction

23o l.IM\E V,

<p f - J et de sa dérivée ; nousle représenterons par ^ / .

On déduit de là

De celte manière, à chaque valeur de y ( - ) correspondront» valeurs de i ( - ); comme la fonction tp f - j a elle-même n valeurs, la fonction W - ) aura n* valeurs.

Voilà comment on procède quand le nombre n est impair; on peut même le supposer premier 5 car si Ton a « = n'//,il

sera préférable d'exprimer d'abord X ( - j au moyen de X (z), puis l ( -^A au moyen de X f ^

192. Considérons maintenant le cas où n est pair. Dans ce cas l'équation entre v et u renferme un radical du second degré (n** 184); si on le fait disparaître, Téquation sera du degré p.«* et ne renfermera que des puissances paires de l'inconnue.

Supposons d'abord n = 1, On a à résoudre l'équation

I — k^ u' ou

on en déduit

Les doubles valeurs des trois radicaux donnent les huit valeurs de n qui ne dépendent que de quantités toutes connues-

MULTIPLICATION OU DIVISION DE l'uNE DES PÉRIODES. 23 1

Le nombre pair n est en général de la forme 2^. «', n' étant mpair ; après avoir exprimé ^ ( -7 ) au moyen de l (^) ^ îomme nous l'avons expliqué plus haut , on appliquera p fois iuccessivement la formule précédente, afin d'obtenir M ~ ) •