CHAPITRE IV
Mi'LTIPLICATION OU DIVISION DE l'uNE DES PÉRIODES d'uNE FONCTION ELLIPTIQUE PAR UN NOMBRE ENTIER.
193. Le calcul de l (nz) eu fonction de 1 (z) revient à exprimer, au moyen de X (z), la fonction qui a pour périodes ellipli-
tjues -> — » c'est-à-dire à diviser par n les deux p€»riodes de la fonction donnée. De même, le calcul de X ( - | en fonction de
l(z) revient à déterminer la fonction dont les périodes elliptiques sont w w, nci>'. Au lieu de diviser ou de multiplier simultanément les deux périodes par le nombre n, on peut se proposer d'exprimer, à l'aide de 1 (2) , la fonction qui aurait une période commune avec ^(z)y et pour autre période la période correspondante de X (z) divisée ou multipliée par n. En répétant deux fois de suite la même opération sur les deux \M,Tiodes 0), w' de / (5) on retrouvera, soit X(wz), soit
Nous désignerons par ki le module de la fonction inconnue, rtpar gi son paramètre, de sorte que la fonction sera représentée par X (gfZ^ ht). Nous nous occuperons d'abord de la 'livision, en commençant par les cas les plus simples.
Division par deux.
194. Premier cas. Division de fa première pôriofk^, — I-c produit ^ (2) ?. ( " "+" 7 ) admet les jwriodcs -> o)', il s'aii-
nule pour z = o et r = ^^ et devient infini pour z = — et
z =tH — \ d'ailleurs le parallëlogramme ( -^ w' j ne renferme
pas d'autres zéros, ni d'autres infinis, que les précédents ; on a donc
La constante A est donnée par la formule
on a ensuite Puisque il en résulte
195. Remarque. — La valeur de ^ (g)? dont nous nou» sommes servis, s'obtient par la formule
On trouveainsi les quatre valeurs del ( ô ) ' endésignant par flet
Si' un système quelconque de périodes elliptiques de la fonction X (z), c'est-à-dire en posant (n*' 90)
a = (4rn-i)w + 4^w',
MULTIPLICATION OTJ DIVISION DE l'uWE DES PÉRIODES. 233
ivec la condition
Ces quatre valeurs sont celles de
elles sont deux à deux égales et de signes contraires -, la première et la troisième, ainsi que la seconde et la quatrième, ont pour
produit T* Le calcul précédent comprend la division par deux
de la première période îl de l'un quelconque des systèmes de périodes elliptiques.
196. Second cas. Division de la seconde période. — Partageons en deux parties égales , par une parallèle à Fig. 3i. OA, le parallélogramme élémen-
taire OACB [fig. 3i) de la fonction X (r, A) ; OACB' sera le parallélogramme élémentaire de la seconde fonction. A une valeur de \[z^k) correspondent, dans le parallélogramme OACB, deux valeurs de z^ dont la somme est égale à -; pour ces deux valeurs
de z, la fonction ^{gxZyk^) sl une valeur unique. A une valeur de X(g'ir,Ar,) correspondent, dans le parallélogramme OACB, quatre valeurs de z , que Ton peut réunir par couples
fù eo
et
Les valeurs de i («,Ar), pour les valeurs de z d'un même couple, sont égales^ de plus les deux valeurs différentes de
i (z, A) ont pour produit -• De ce qui précède il résulte que la
fonction X(g'iZ,A,) est une fonction rationnelle du second
degré en l[z,h),
-^b\[z)-hcV(z)
La constante ^ est égale à zéro , puisque ^ (^i i^yAri) s'anni avec z. Pour que le produit des valeurs de X (z, Ar) qui corre
pondent à une valeur quelconque de A (g^j r , Ati ) , soit -ri il fa
c[ue l'on ait
c = o, c'^=za'k,
La fonction X [g\Z,hi) étant impaire, on a ce qui donne la formule
Si Ton fait
il vient
i=rA j-3 A = i-+-/;
d'où
On a ensuite
Kî--)
Pour obtenir la valeur constante du second membre de cet dernière équation, on remplace z par j? ce qui donne
Mais de la relation
on dédiiil, eu y faisant z
Cl) &>
'■(i-T)Hi-î)=î>
MULTIPLIGA.TION OU OIVISIOU DE l'uNE DES PÉRIODES. 235
(lailleurs
Ki-)='(î-')-
Par conséquent, I] en résulte
197. Si^ après avoir divisé par 2 la première période tù de la fonclion X (z, /r), on divise encore par 2 la seconde période ta* de la nouvelle fonction, la troisième fonction aura
pour périodes -9 — et Ton arrivera ainsi à X (2z, h). On peut
vérifier aisément ce résultat.
Par la première transformation, on obtient
econde donne
La seconde donne
Dwision par un nombre impair quelconque^
198. Premier cas. Dis^ision de la première période, — Soient il et îl' deux périodes elliptiques quelconques de la fonclion proposée ; le produit
admet les périodes -? îl'^ caries farlciirs sr pcnnulcnt circulairemcnt quand z augmente de - et chacun d'eux admet la
période il'. Le faeteur ^ (2) devient nul pour z =0 el infini pour r = —, le facteur X f^H | devient nul
pour z= — et infini pour « = 1 ; d'ailleurs le parallé-
^ wt 2/2 2
logramme des périodes -9 îi' ne renferme pas d^ autres zéros, ni d'autres infinis du produit que les précédents; on a doue
(3) X(^.*,^.) = AX(z)>(z4-^\...W34-(«-.,£J.
En mettant à part le facteur ^ {z)^ et groupant deux à demies facteurs de la forme
d'après la formule (7) du n** 171 , ce qui donne
OU voit que la fonction \ (g^i^i^i) s'exprime par une fraction rationnelle impaire en i (z) , du degré n.
On obtient la constante A en faisant
d'où
T ' j . , a il , , , Il , 3ii •
Lune des quantités -. — >rp— est égale a ^ ou a -y suivant que // est de, la forme 4"'+i ^^ ^^ '^ forme 4'»'-''' l't comme
il w
TV
MULTIPLICATION OU DIVISION DE l'uNE DES PÉRIODES. 237
il eu résulte
ou
De la relation
on déduit
