II

Si Ton prend la dérivée des deux membres de Féquation (3), et si Ton fait z = o, on obtient la relation

|.. = x>(ï)>(,e)>(35)...>(,„„9) I ='-.rA.-(5)>.(,ï)...>.(î^S),

et, par suite.

Ki-?)K^-")-Ki-^^)

199. Second cas. Dmsion de la seconde période. — Substituons comme précédemment aux deux périodes o), &)' deux périodes elliptiques quelconques A , A^ et supposons que l'on veuille diviser par n la période îl'.

On trouve par la même méthode

a36 Ufu «'

période iX. Le facteur ï '

fini pour z = if...XM- i

pour s =

' ^^.^iiiinalîon complète des fonctions inconnues ne

^ /Itf celle de X I — ) ou de ). — ) 5 ces quantités sont ^.^ein^s de Téquatiou que l'on obtient en égalant à ^V jpress^^^^ de X [nz) en fonction de X (^s) , équation du '*^'^, f ^-i , après la suppression du facteur X ( z ) . Nous allons ^lier le nombre des fonctions différentes obtenues en divit l'une des périodes par le nombre impair n, j^ous ne regarderons pas comme distinctes deux fonctions égaies et de signes contraires, ni comme modules distincts Jeux modules égaux de signes contraires, ce qui nous permettra de remplacer les périodes w, w'de la fonction X (z) par les deux périodes îl et II' définies par les formules

pourvu que Ton ait

(2rt -hi) rf — ^bc := ±\; et, dans la question actuelle, nous appliquerons à ces périodes la dénomination de périodes elliptiques. De celte manièreou peut dire que les fonctions fournies par la division de la seconde période sont les mêmes que celles qui proviennent de la division de la première période. En effet, les périodes elliptiques Î2, ~» peuvent être remplacées par

a, =:(2a-|-l)il-|-4p — ,

ii, = 7a 4-^ — 9

MULTIPLICATION OU DIVISION Dl- L UNE DES PÉRIODES. aSç

ourvu que Ton ait

(2a-|-i)(î — 4Pv=±:i.

Mais si Ton prend d = n ^ ce qui est permis, on obtient les périodes

[(2aH- i) (2fl -h i) w 4- 4 P^] « -f- 4 [ (2 a -f- i) ^/« -h ^B^/] «'

a; = [(2 fl -f-i) 7 -f- c] w -h (4^7 -f- //) w',

qui résultent' de la division par // de la première période d'un certain couple de périodes elliptiques de la fonction proposée. On verrait de même que les périodes elliptiques — ? D!

peuvent être ramenées à la division par n de la seconde période.