Supposons maintenant que Ton divise par n la première

période du couple Q., iî'. Les périodes -» fl', de la nouvelle fonction peuvent être remplacées par

n,= (2a-hi)^-f-4pn', a', = 7 - -h ^a', pourvu que Ton ait

Remplaçons D. et D.^ par leurs valeurs dans les expressions de ïii et H\ , il vient

[(2a-hi)(2flH-i) + 4P^^]^H--4[(^« + 0^-HP^^]<^ '

, [7(2fl-t-i)+^^g]t»> + [7.4^ + ^^^]<^\ ' n

Soit n! le plus grand commun diviseur entre aa-hi ein\ posons {2aH-i)= (2a'-|-i) w', n = n'n". Prenons y = — nl'c^

24o LIVRE V.

d = 2a' -Hi; la relation (aa -h i) â — 4|37= ± i devient

(2i»'4-i)(2a-hi)-h4p/j"c = ±:i.

On choisira a et /3 de manière à vérifier cette relation. D'après cela les valeurs de Aj et de H\ prennent la forme

9 étant un entier quelconque. Lorsque q augmente d'un multiple de n"^ la fonction ne change pas-, il suffira donc de donner à cette variable les valeurs o , i , a , . . . , /i" — i . D'ailleurs les n!' fonctions ainsi obtenues sont différentes entre elles ] car il est impossible de ramener les périodes elliptiques de l'une à celles de l'autre.

Le même partage du nombre n donne encore nf fonctions distinctes aux périodes

fonctions qui diffèrent des précédentes. Ainsi chaque partage en un produit de deux facteurs n!n" fournit w'-h n" fonctions distinctes. Un second partage en deux facteurs n^ ri^ donnera encore n\ H- n^ fonctions différentes.

De ce qui précède il résulte que ;

1**. Sin est premier y le nombre des fondions est n+i-^ 2**. Si n est un nombre composé y le nombre des fonctions est égal à la somme N des diviseurs de n .

202. Remarque. — Soient n et w'deux nombres entiers impairs et premiers entre eux, les fonctions que l'on obtient en divisant la première période de X (z) par n et la seconde par n' sont comprises dans celles que donne la division de la première période par le produit nn' , Si n et n' ont im plus grand commun diviseur d et que l'on pose n = nid, n^z=z n\ d, pour diviser les deux périodes respectivement par tï et n', on cher-

MtlLTlPLlCATlON OU DIVISION DE l'uNE DES PÉRIODES. 2^1

chera d'abord X {dz^ k)^ puis on divisera par riin\ la première période de cette fonction.

203. D'après ce que nous avons dit au ii° 91, quand deux fonctions elliptiques ont même module, les systèmes de périodes elliptiques se correspondent deux à deux de manière à présenter le même rapport. On voit aisément que les fonctions dont nous venons de parler ne jouissent pas de cette propriété et qu'elles ont, par conséquent, des modules différents. Ainsi le module k^ a autant de valeurs qu'il y a de fonctions différentes. L'équation entre les modules A: et ki jouit de diverses propriétés, parmi lesquelles nous indiquerons les suivantes, données par Jacobi.

L'équation modulaire est symétrique par rapport à A: et Ai . En effet, si, après avoir divisé par n la première période de la première fonction , on divise par n la seconde période de la deuxième fonction , on revient au module primitif-, c'est-àdire que, si l'équation est vérifiée par A =«, Aj = (3, elle doit l'être également par A: = (3 , Aj = a .

204. La fonction elliptique, qui a le module complémentaire k' et pour paramètre l'unité, admet les périodes elliptiques — r- et-* (n° 107) 5 de même la fonction elliptique dont le module est A', et le paramètre gi , admet les périodes elliptiques -:- et — -, c'est-à-dire que le module h\ correspond à la division par n de la seconde période de la première fonction. La relation entre A' et k\ est la même que celle entre A et Ai \ donc l'équation modulaire ne change pas lorsqu'on y remplace A et i, respectivement par ^i — A* et v^i — k].

La fonction X ( Az, j j a pour périodes elliptiques w — aw' et «'^ la fonction i igikiZf-r]^ pour périodes elliptiques le système 2 0)' et o>' qui est équivalent à et w'. L'équa-

tion modulaire ne doit pas changer quand on y renoiplace A par

ielft.pari-.

Lorsque le modale k est réel et moindre que Tunité, si Ton choisit les périodes elliptiques indiquées au n^ 109, et si Ton prend leur rapport p^ on voit que, quand on divise par n Tune ou l'autre des deux périodes co, (ù'\ le nouveau module est réel; il diminue si l'on divise la première période, il augmente an contraire si l*on divise la seconde. Quand n est un nombre composé , si on le partage en deux facteurs nf et nf' premiers entre eux , la division des périodes respectivement par ks nombres n! et n/' donne également une valeur réelle de A*].

Multiplication par un nombre entier quelconque.

205. C'est l'opération inverse de la précédente. Si le multiplicateur est le nombre 2, la fonction inconnue s'obtient par la résolution d'une équation bi-carrée (n° 194), ou d'une équation du second degré (n° 196), suivant -qu'il s'agit de la première ou de la seconde période. Si le multiplicateur est un nombre impair n , la fonctioa inconnue est racine d'une équation du degré n (n^ 198). Dans le premier cas le module k s'exprime en fonction de Aj par les formules des n°' 194 et 196 5 dans le second cas, il dépend d'une équation dont le d^ré est la somme des diviseurs de n.

Lorsque n est impair, l'équation du degré n, qui donne la fonction inconnue, est résoluble algébriquement. La simplification indiquée au n° 190, dans la recherche de X ( - , A^l en

fonction de A (z, /r), consiste à multiplier d* abord l'une des périodes par n , puis Fautre.