CHAPITRE V
206. Le problème que Von se propose de résoudre est le suivant :
Trouver toutes les fonctions rationnelles y de la variable x cpi satisfont à Téquation différentielle
dx ^ djc
Xa constante k est donnée ; il faut déterminer les constantes gi «t kl en même temps que la fonction y. Pour un couple de valeurs attribuées arbitrairement aux deux constantes gi , kiy Téquation différentielle n'a pas, en général, de solution de l'espèce considérée) c^est-à-dire dans laquelle y s'exprime rationnellement en x.
Soit y^, la valeur dey qui correspond à jc = o •, concevons que Ton e^rime lés deux variables j^ et a: en fonction d'une variable auxiliaire z , en posant
dy ^ dx
d'où
Désignons par a Tune des valeurs de l'intégrale ^y. dy
on aura aussi
•^l par suite
(a) x = \{z,fr), r = i(g',(î+ «),*,)•
Il est d'ailleurs érîdentque deux fouctions elliptiques x elj, définies par les équations (2 ), satisfont à Téquation (i) quelles que soient les constantes gi et Ai. La question revient donc à la suivante : Déterminer toutes les fonctions
qui s'expriment rationnellement par une fonction elliptique donnée
207. Supposons que les valeurs des constantes gt^ ki, a soient telles que Ton ait
P et Q étant des fonctions entières de x. Désignons par uet o/ un couple de périodes elliptiques de la fonction Xj par tù^, &>, un couple de périodes elliptiques de la fonction j^. Quand z augmente de o) , j: ne change pas, y ne doit pas changer non plus , ce qui exige que (ù soit égal à une somme de multiples de W| et (ù\ 5 le même raisonnement s^applique à g/. Ainsi , il faut d'abord que Ton ait
(4) ["rr-^l':
ou
^ ' , —p'a + pa'
eu désignant pour abréger par N le nombre entier ±{pq'-qp').
Lorsque les conditions (4) sont satisfaites, la fonction/ s'exprime rationnellement au moyen de x et de sa dérivée? puisqu'elle admet les périodes w et w'. Il faut trouver la cou" dition pour que la dérivée n'entre pas dans cette expression*
Le second membre de Téquation (3)[ ne change pasjlors"
(u'on remplace z par z, il faut donc que Ton ait
et,
par conséquent ,
au,
en tenant compte
des relations (4))
I^a condition (6) est suffisante (n^ 80); elle exprime qu'à une inèine valeur dej^ correspondent, dans chaque parallélogramme élémentaire, deux valeurs de z ayant une somme équivalente
Degré de la transformation.
SOS. Commençons par évaluer le degré de la fonction y par rapport à x.
Considérons d'abord le cas où p et q sont premiers entre eux; prenons deux nombres r et 5 assujettis à la condition
ps — yr = ± ï .
La comparaison des relations
/^' — ^y = ±N, ps-'-qr^dZï
donne
^ étant un nombre entier.
Le parallélogramme défini par les formules
est un parallélogramme élémentaire de la fonction y aux pénodes elliptiques Wi, w',5 mais ces deux périodes nouvelles «,
^46 UVUE Y.
w" ne conslitueat pas en généi^^d un systènde de périodes ( tiques de la fonction y. Puisque
»' = N»" -h /», «' — f » = Nw%
la fonction x aux périodes elliptiques b>, fàf adn^et aussi le$ périodes elliptiques
Les deux parallélogrammes élémentaires (a), cù'^) et (tt>,N(/)
Fiç. 32.
ont un côté commun o), k second c6c^ du deuxième al égal à N fois le second cité du premier. Â une mèxoe valwr de y correspondent deux valeurs de z dans cka- ^ue parallélogranuAÇ âi^ mentaire et, par suite, iS di^ns le grand parallélogramme. P'apri^ la relation (6)»
à laquelle doit satisfaire la constante a, la somme des deux valeurs de z étant équivalente
à ^> les poipjLs qui )e& représeateBt sont phcés comme Tindi-i
que la figure, de telle sorte que les droites Oa, c^bi soient égales et parallèles. Chacun des couples (a, i„), (a^^ i»-.i),..'î
{a^i y^ bi) donne une somme égale à No)'^ + - ; il en résulta
qu'à une valeur de y correspondent seulement N valeurs dex, c'est-à-dire que y est un fraction rationnelle en x du degré N.
209. Si p et q ne sont pas premiers entre eux , soit d leuf plus grand commun diviseur, p^ et (jf les cpiptients de p et f par d. On cherche, comme dans le cas précédent, dfiUX eutiefs r cl 5 par la condition piS — ^, /• = ±: i , et l'on pose
jj,q — /v y,
«l'où
