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Ni'-H/^i^ r/' = ]N,f -h </,/
La fonction y admet le parallélogramme élémentaire Cl la fonction x les périodes elliptiques
A une même valeur dey correspondent dans chaque parallélogramme élémentaire deux valeurs de z ayant une somme équivalente a ^* Si d est impair, cette somme est équivalente à
— ;j puisque - = — ; H ;• Dans ce cas nous appellerons
2d ^ ^ 2 ^d 2 nd ^^
u la fonction aux périodes elliptiques -> Ni w". Le parallélo-
^amme t^latif à la fonction u contient 2 Ni valeurs de z que l'on pourra grouper deux à deux, comme précédemment, de manière que chaque couple présente une somme égale à
^ -f. Ni w'^^d'aii l'on conclut que y est une fondîon rationnelle en u du degré Ni . Mais la fonction u peut être considérée comme ayant les périodes elliptiques -et Ni tt>"-f' ï-> c'est-à-dire - et w'^ oii rol>tiëndra en divisant par d la première période de la fonction a:; c'est donc une fonction rationnelle en X du degré d, U en résulte que y est une fonction rationnelle en X du degré Nj d ou N.
Si d est pair, la somme - équivaut à zéro, puisque -= - - ; y est donc une fonction paire en x. Appelons u une fonction paire admettant les périodes -j» NjOt)". Dans le parallélogramme relatif à m, à une même valeur de y correspondent aNj valeurs de z que Ton groupe deux à deux de manière que
«haque couple ait une somme égale à - -f- Ni w"-, on en con- ^lu^quey est une fonction rationnelle en u du degré Nj. Mais
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la fonction u peut être considérée comme ayant le parallélo-
gramme élémentaire ( ^9 (cf j ; dans chacun d'eux, à une même
valeur de u correspondent deux valeurs de z dont la somme
est nulle ^ dans le parallélogramme ( -> w'j relatif à x', se
trouvent d valeurs de z ayant deux à deux une somme ^alei
-+01/, donc u est une fonction rationnelle en x du àeeré- 2 2
et, par suite, y est une fonction paire en x du degré N. Ainsi,
dans tous les cas, le degré de la fonction y par rapport à x
est égal au déterminant N =: ±: (pq' — </?')•
Transformation du premier degré.
Nous allons chercher d'abord toutes les transformations du premier degré ^ on Içs obtient en supposant le déterminant N égal à db I . Il y a plusieurs cas à considérerf
210. Premier cas ; p impair, q pair, -r- D'après la formule (7), on peut donner à a Tune des quatre valeurs
o, — > — i-> -î ^" Si Ton appelle y^ la fonction qui corres^
pond à a==: o, les diverses valeurs àej seront ±j^i, àz 7—;
calculons la fonction j^^ = X [g^ z^ki). Les fonctions yi etjC
ont les mêmes zéros et les mêmes infinis; donc le rapport-
est une constante A. Pour avoir la valeur dç la constante A» dans la relation j-i = Aa:, faisons
«1 q' Vi'
c'est-à-dire
U en résulte
A = I , ou A = ^ .
TAAlfSFO&MATIOir DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 249
On obtient le module Ai en faisant
on trouve, lorsque A=i, A^i = ft, et lorsque A = A, il = -. On a ensuite soit g^i=i, soit gi = h. Les solutions de ce premier cas sont donc
(8) /•, = *, gi=i, r = ±:a:, yz=±—y .
et
(9) ^' = 7' 5'! = ^» y = ±:Ax, jr = ±i.
211, Second cas : p paii\ q impair. — La valeur de a est de Tune des formes ifc ^ ± j-^ appelons jx la fonction qui
correspond à a = -r 4- -r-; les diverses valeurs de y seront,
comme tout à l'heure, itiyi, ± 7 — • Soît
En faisant z = o , on a
Si Ton remplace z par -4-4:=— -h^jXse change en — x 2 2
X et jr en 7 — ; il en résulte
Jl «^
a5o LIVRE V.
et, par suite,
1 ni n ,
