OU

suivant que q^ est pair ou impair; dans le premier cas — = -7= et dans le second — = -=• Supposons d'abord i pair, on aura

I I -4- or^X-

y^A-i I — xy^îf

Pour obtenir le module Âr, , nous ferons

d'où

•7- =. -7= — — ou "T— — ~ p.*

^"i >jk, î V^-i i — >lk

Prenant les dérivées et faisant z = o , on a

^ ^ ^ — -^ z=z n--^ mn' = 2 -~

TllAirSFOBMiTIOIf DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. a5f

d'ott

Les résultats «correspofidajit au cas ok^ est impair se dëdai* sent des précédents par le changement de k en — k. Ainsi les formules pour le second cas sont

et

(il) X = — — ' ^ = IÎI— r^ =•

I — i^ I — ix ^ i +i^l-hia:^k

Le cas où p et ^ sont impairs donne les mêmes formules que le précédent.

A cause des deux valeurs du radical ^k , on voit que le nombre total des valeurs de k] est 6, et qu'à chaque valeur de h\ correspondent deux valeurs distinctes de /*.

Transformations du second degré,

212. On trouverait avec la même facilité les transforma* tiens du second degré; mais nous verrons par la suite qu'on les obtient en combinant deux transformations particulières du second ordre avec celles du premier. C'est pourquoi nous nous bornerons à considérer le cas particulier suivant qui pous sera utile.

5oit

a52 LIVRE V.

La fonction jr est une fonction paire du second degré; posons

m H- /la:*

En faisant i: = o , on obtient m =: i . Changeons z en

—-■+-2= — 4-z, la formule devient

Identifiant avec la valeur précédente, il vient

Pour z = — i = -7 on a

x^i ^qpi * k±i

Enfin, en égalant les coefficients des puissances de 2*, on obtient

Transformation d'un degré quelconque quand y s'annule

avec X,

213. Nous allons indiquer maintenant comment on détermine en général la fonction y. Nous examinerons d'abord le cas où la fonction j^ s'annule avec x.

Dans ce cas, a est nulle ou de la forme m — -h » w' ; Vé-

quation (7) montre que p est impair, q pair, et Ton a

nous calculerons ^{gi^^ki).

Supposons d'abord p et q premiers entre eux ; si l'on compare la fonction j â la fonction qui admet les périodes ellip-

tRAHSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. a53

tiques (nO 208),

on -vm que ces deux fonc lions, ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans leur rapport constant; la première est égale à la seconde multipliée par Tune des constantes

± i^dtz-r' Mais la fonction aux périodes elliptiques w, w"

s^obtient en divisant par N la seconde période de la fonction x='k(zyk). Si N est impair, on pourra diviser par N la première période au lieu de la seconde. Si N = a"N', on pourra diviser la première période par N', puis la seconde n fois de suite par 2.

Si p et q ne sont pas premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur J est impair; on divisera d^ abord par d la première période w, puis on opérera comme préqédemment (n*» 209).

La valeur de j", pour z = — ^ est nulle ou infinie suivant que

(/ est pair ou impair ; donc le degré du polynôme Q sera supérieur ou inférieur à celui du polynôme P, suivant que les nombres 4/ et N seront pairs ou impairs. II faut remarquer en outre que la valeur de j^ est égale au produit de x par une fonction rationnelle de x*.

Transformation dun degré quelconque quand y ne s'annule pas a\fec x.

Ce cas se subdivise en quatre, suivant que p ei q sont pairs ou impairs.