ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ENTRE LES MODL'LES

on arrive à l'équation suivante trouvée par Jacobi

\^dA ' dk' \ dk

^ r/i + A;\ fdk\^ /i + x-

l ■*" dk' Wk,— k,l \dk I \k-k\

qui devient

2 {dkd' k, — d/,, dH) — 3 [{d/.d^ A, )' — (dk, d'i-f]

^idA.,y[(L±K^dk)-(L±^,dky\=o,

en laissant la variable arbitraire quelconque.

Il faut observer que rien , dans les calculs précédents , ne suppose n entier, et il suffit que 7i soit une constante quelconque. Lorsque n est commensurable, les modules k et Ai sont liés par une équation algébrique. Ainsi l'équation (lo) jouit de la propriété remarquable d'avoir une infinité d'intégrales algébriques de différents degrés , son intégrale générale est déterminée par la relation

, , • ii' il' a' w H- S' w'

£1, a w -r Pw'

|3, a', |3' étant trois constantes arbitraires.

IINTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AU MOYEN DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

237. Dans le chapitre i du livre II, nous avons indiqué une mélliode générale pour étudier les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles. Nous nous proposons actuellement d'appliquer cette méthode aux équations différentielles de la forme

dans laquelle F désigne un polynôme entier entre la fonction u

et sa dérivée—-? du degré m par rapport à cette dernière, et ctz

ne contenant pas la variable z.

Nous démontrons d'abord qu'à chaque valeur de // correspondent//i valeurs de ^ , augmentées ou diminuées de multiples quelconques de certaines périodes w, w', . . . .

Nous démontrons ensuite que , si à chaque valeur de la variable correspond un nombre limité de valeurs de la fonction zf , l'intégrale est la racine d'une équation algébrique entière entre u et une quantité qui est, ou la variable indépendante z elle-même , ou la fonction circulaire

tang — ) ou la fonction elliptique ^[gz).

Nous concluons de là que, si l'intégrale est monodrome, c'est-à-dire n'a qu'une valeur pour chaque valeur de la variable, elle est, ou une fraction rationnelle, ou une fonction monodrome simplement périodique, ou une fonction monodrome doublement périodique. Dans le premier cas, l'intégrale est le quotient de deux polynômes entiers enr, l'un du degré m, l'autre du degré m au plus. Dans le second

cas. l'intégrale s'exprime par une fraction rationnelle en

lang — ; dans le troisième cas, par une fraction rationnelle

entre la fonction elliptique 1 (g^) et sa dérivée //.

Nous nous occupons spécialement des équations différentielles qui admettent des intégrales raonodromes. Nous donnons d'abord les caractères très-simples par lesquels on reconnaît, à Finspection de l'équation diiférentielle, si l'intégrale est inonodrome , et ensuite nous disons comment on distingue à quelle catégorie elle appartient.

Celte étude directe de l'équation ditférentielle a une grande importance, elle nous donne d'abord les propriétés fondamentales de la fonction intégrale, et en caractérise la nature. Elle nous permet, en outre, d'effectuer l'intégration, telle qu'on l'entend habituellement, c'est-à-dire d'exprimer la fonction intégrale au moyen de signes convenus, lorsque cela est possible. Nous trouvons la forme de l'expression et nous calculons ensuite les coefficients. Ces coefficients sont de deux sortes, ceux qui entrent dans la composition de l'expression et ceux qui servent à définir la fonction circulaire ou tang — » ou la fonction elliptique A (gz). Nous obte-

nous les premiers au moyen d'équations du premier degré. Lorsque l'intégrale est simplement périodique, la constante o), qui entre dans la fonction circulaire, est fournie immédiatement par l'équation différentielle. Lorsque Fintégrale est doublement périodique, les deux constantes g et A, qui définissent la fonction elliptique, sont données par des équations algébriques d'un degré plus ou moins élevé.

238. Nous avons appliqué notre méthode d'intégration aux équations diffiérentielles binômes de la forme

et nous avons démontré que, outre les cas où l'intégrale est

rationnelle ou simplement périodique, il existe onze équations différentielles de celte forme qui donnent naissance à des fonctions monodromes doublement périodiques.

Nous avons appliqué la même méthode à d'autres exemples plus compliqués. Voici quelques-uns de ceux que nous avons traités.

L'équation différentielle

admet une intégrale rationnelle

L'équation différentielle

\dz I \dz ! 27^ 27

admet une intégrale monodrome simplement périodique, qui a pour expression

-tang — I i-f- tang

W , TtZ

I H — tang^ —