II VUE M

dans laquelle F désigne un polynôme entier entre la fonction

H et sa déri\^ée —•> du degré ni par rapport à celte dernière,

et ne contenant pas la variable Zj à chaque valeur de n correspondent m valeurs de z augmentées ou diminuées de multiples quelconques de certaines périodes.

Soit m le degré de réquation par rapport à — -• La variable z

CIZ

part de z=:Zo, la fonction u ayant la valeur initiale arbitraire Mo , et le coefficient différentiel une valeur déterminée

— I -) satisfaisant à l'équation . Considérons d'abord u comme

dz J 0

la variable et z comme la fonction-, à chaque valeur de u correspondent m valeurs de —5 données par l'équation. Si la variable M, partant de Wq , revient au point de départ après avoir décrit un contour fermé ne comprenant aucunpoint pour lequel la racine de l'équation (i) devient égale à une autre, le coefficient différentiel — reprendra sa valeur primitive f — j ? et l'accroissement de z^ c'est-à-dire la valeur de l'intégrale le long de ce contour, se ^a nul. Mais, si le contour fermé décrit par la variable u comprend un ou plusieurs points pour lesquels l'équation admet des racines égales, le coefficient différentiel

pourra changer et prendre une valeur différente [ -1-] '1 <^ii

faisant décrire à la variable u différents contours fermés, on obtiendra nécessairement les m valeurs du coefficient différentiel

\du 1 0 \auji \du U \du/,n-i

qui correspondent à u=:U(^, et l'intégrale z acquerra les m valeurs correspondantes

Plusieurs contours peuvent conduire à la même valeur de

INTÉGRATION PAR LES FOxXCTlONS ELLIPTIQUES. 287

— : nous nous bornons pour le moment à m contours rame-

(lu ^

liant m valeurs distinctes de -^'

du

Supposons maintenant que la variable f/, après avoir décrit un quelconque de ces m contours, aille du point //o à un point quelconque u du plan, en suivant un certain chemin, par exemple le chemin rectiligne, l'intégrale z prendra ni valeurs distinctes au point u. Ainsi à chaque valeur de u correspondent déjà m valeurs de z.

Nous avons fait usage de contours fermés qui donnent au

coefficient différentiel -^ les m valeurs qui correspondent à u = Uq. En décrivant un autre contour fermé, on reproduira nécessairement Tune des m valeurs précédentes de — -• Considérons un contour fermé, comprenant des points pour lesquels Téquation admet des racines égales et ramenant la valeur initiale ( ;7- ) du coefficient différentiel^ désignons par co l'accroissement de z le long de ce contour. Si Ton fait marcher la variable u de Uq à u suivant une ligne quelconque, soit directement en partant de l'origine u^ , soit après avoir décrit le contour fermé dont il s'agit, le coefficient difféienliel redevenant le même en Hq et restant par conséquent le même le long de la ligne, on aura la même intégrale définie dans les deux cas; seulement la valeur de z sera augmentée d'une quantité constante w. Si Ton avait décrit deux fois le même contour fermé, on aurait augmenté la valeur de z de la quantité constante 2 0t), et ainsi de suite. Comme on peut ajouter ce contour fermé une ou plusieurs fois avant chacun des chemins dont nous avons parlé précédemment , on voit qu'à chaque valeur de u correspondent actuellement m séries de valeurs de z en progressions arithmétiques dont la raison est w.

S il existe un autre contour fermé , ramenant la valeur ini-

liale ( -— I du coefficient difrérentiel avec un accroissement 0/ \du /o

différent de w , cet accroissement w' sera une seconde période , et chacune des ?n valeurs de z pourra être augmentée de multiples quelconques de w et de w'. On obtiendra ainsi un ceriain nombre de périodes que l'on pourra en général réduire à un moindre nombre de périodes distinctes. \

Il suffît, pour avoir toutes les périodes, déconsidérer les contours fermés qui ramènent la valeur initiale ( — ) du coefficient

\eiuj 0

ditTérentiel, avec divers accroissements o),a)', . . . , de riniégrale. Imaginons, par exemple, un contour fermé qui ramène

la valeur ( -r* ) et qui fasse acquérir à l'intégrale la valeur

Zi H- w, ^ si, après avoir parcouru ce contour, on décrit en sens inverse le contour qui a produit la valeur Zj , on reviendra à la

valeur initiale ( — j du coefficient différentiel, Finte'grale

avant alors une valeur telle que Zo-4-w. Ces deux contours réunis forment donc un des contours considérés précédemment. On conclut de ce qui précède qu'à une même valeur de u correspondent m valeurs de z dont chacune peut être augmentée de multiples de certaines périodes w, w', . . . ,

240. Remarque I. — Il peut arriver que l'intégrale définie, le long de chacun des contours fermés qui ramènent la valeur

initiale ( — ) , soit nulle. Dans ce cas, à chaque valeur de u

correspondent seulement m valeurs de z. D'ailleurs z ne devient infinie que pour un nombre limité de valeurs de u ; car lorsque

z devient infinie pour une valeur finie de u, — devient nulle;

la valeur de u annule donc le terme indépendant de — dans

l'équation diiTérentielle. Si Ton considère une fonction symétrique entière des m valeurs de ^, telle que leur somme, cette fonction, étant monodrome par rapport à u et n'ayant qu'un nombî'c limité d'infinis, sera une fonction rationnelle de u. Il