Ï.NTÉGRATIOIS PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES
en résulte que 2 est racine d'une équation du degré m par rapport à z, dans laquelle les coefficients sont des fractions rationnelles de u. Réciproquement, u est une fonction algébrique
de z (n^ 43).
2H . Remarque H. — Nous ferons observer que Tintégrale d^une équation différentielle
contenant la variable z^ F désignant toujours un polynôme entier, ne peut être périodique. Car, lorsque la fonclion u est
périodique, à des mêmes valeurs de u et de — correspondent
une infinité de valeurs de z. Mais l'intégrale peut être algébrique, et même entière ou rationnelle,
242. Théorème II. — Lot squ elle admet un îiombre limité de valeurs pour chaque valeur de la variable ^ V intégrale est une fonction algébrique, soit par j'apport à z, soit par rapport à
tang — , soit par rapport a K[gz), w
Nous allons faire voir d'abord que, lorsque la fonction intégrale admet un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z, elle ne peut avoir plus de deux périodes j car, si elle avait trois périodes distinctes w, w', w^^, elle admettrait un nombre infini de valeurs pour chaque valeur de 2:. En efïet, quand on fait marcher la variable z le long d'une courbe, l'intégrale est bien déterminée. Soient u et vl les valeurs qu'elle acquiert aux points z et z' de cette courbe. On sait que l'on peut déterminer trois nombres entiers w, m\ m" , positifs ou négatifs, de manière que la somme mw -h m^ w! 4- m" ta" difière infiniment peu d'une quantité donnée z — z' . Supposons qu'après avoir fait I marcher la variable jusqu'au point z' ^ on lui fasse décrire ensuite le chemin
de telle sorte que la fonction u décrive les contours fermés qui produisent les accroissements m fj), m'(i)\ m" w", la fonction preu-
290 LIVRE yi.
drait au point z la valeur li qu'elle avait au point quelconque z' de la courbe suivant laquelle on a intégré. La fonction aurait ainsi au point z une infinité de valeurs.
On conclut de là qUe la fonction intégrale ne peut avoir plus de deux périodes. Dans le cas où les périodes sont nulles, l'intégrale, comme nous l'avons fait voir, est donnée par une équation algébrique entre m et ^.
Supposons qu'il n'y ait qu'une période distincte w \ à chaque valeur de 11 correspondent m valeurs de z ,
augmentées des multiples de w, et par conséquent seulement
leurs de tang — 9
TtZ TtZi
mg — 5 tang — •>
7rZ2
tang — ,. .
7rz„,,
idiig
Toute fonction symétrique entière de ces quantités, telles que leur somme, la somme de leurs produits deux à deux, etc., sera une fonction monodrome par rapport à u 5 cette fonction monodrome, ne devenant infinie que pour les valeurs de u en
nombre limité qui correspondent à z = -, sera donc une.
fraction rationnelle de u. Ainsi tang — est donnée par une
équation du degré m ayant pour coefficients des fractions rarationnelles en u. Réciproquement, u sera donnée par un( équation ayant pour coefficients des fractions rationnelles en
tang
Supposons maintenant que l'intégrale admette deux périodes distinctes w et w'. Concevons une fonction elliptique X (gz] définie par l'équation
et admettant les deux périodes o) et o)'. A chaque valeur de correspondent m valeurs de z,
ÏNTÉGRATION PAR LES FONCTIOKS ELLIPTIQUES. 2gt
augmentées des multiples des deux périodes w et w', et par conséquent seulement m valeurs de X (gz)^
On verra de la même manière que toute fonction symétrique «nlière de ces quantités, étant monodrome par rapport à w, et n'admettant qu'un nombre limité d'infinis, est une fraction rationnelle en 11. On en conclut que 1 (gz) est donnée par une équation du degré în en X ayant pour coefficients des fractions rationnelles de u. Réciproquement, u sera donnée par une «quation ayant pour coefficients des fractions rationnelles enl{gz).
243. Théorème III. — Lorsquelle est monodrome , V intégrale est, ou une frac lion rationnelle, ou une Jonction simplement périodique, ou une fonction doublement périodique.
Supposons que, par un moyen quelconque, on ait reconnu que l'intégrale de l'équation ditférentielle
du\
est monodrome dans toute l'étendue du plan. D'après ce que nous avons dit dans le théorème précédent, le nombre des périodes ne peut surpasser deux. Si les périodes sont nulles, la fonction, étant algébrique et monodrome, est une fraction rationnelle, c'est-à-dire le quotient de deux polynômes entiers en z, l'un du degré m, l'autre au plus du degré m.
Si la fonction est simplement périodique, elle s'exprimera
I par une fraction rationnelle en tang — Car l'équation entière,
qui existe entre u et tang — •> se réduit, dans ce cas, au premier
degré par rapport k u.
Si la fonction est doublement périodique, l'équation entière qui existe entre u et X (gz) se réduit, non pas au premier degré, mais au second degré j car, à une même valeur de X correspondent dans chaque parallélogramme des périodes, deux valeurs de 2 et, par conséquent, deux valeurs de //. Mais, en ré»
2g l LIVRE VI.
solvant l'équation, on obtient pour u une fraction rationnelle enAet>'(n«78).
Moyens de reconnaître si la fonction intégrale est mo-
nodrome.
244. Nous avons démontré que l'intégrale d'une équation différentielle de la forme
lorsqu'elle est monodrome, est ou une fraction rationnelle, ou une fonction simplement périodique, ou une fonction doublement périodique. Nous allons maintenant nous occuper des moyens de reconnaître si l'intégrale est monodrome, puis nous dirons comment on distingue à quelle catégorie elle appartient. Nous avons fait partir la variable z du point z=Zo, la fonction u ayant la valeur initiale arbitraire t/o, et le coefficieni diOerenticl une valeur déterminée Uo, satisfaisant à l'équation.
Tant que le coefficient dillérentiel — ? que, pour abréger^ nous
représenterons par U, reste racine simple de l'équation proposée, U est une fonction monodrome de a et, par conséquent, n fonction monodrome de z. Voyons ce qui arrive lorsque, z arrivant au point Zi et n à la valeur ï/j, le coefficient différentiel devient racine multiple de l'équation.
Nous distinguerons ces racines multiples en deux sortes : les racines nulles et les racines différentes de zéro.
245. Supposons d'abord que le coefficient devienne égal à une racine multiple Ui, différente de zéro. Posons
Si u' est une fonction monodrome de z' autour du poin z' = o, elle se développera en série convergente suivant lei puissances entières croissantes de z\
(2) i/~\],z' -^rftz" -h hz'' -{- . . .;
ia série commence par un terme du premier degré ayant pour coefficient Ui 5 car, pour ^' = o, la dérivée
(3) •' - ^=l\-^2.nz' -h^hz'^+...
^ dz
doit se réduire à la valeur Uf La série (2) montre que, réciproquement, z est une fonction monodrome de li s'évanouissant avec z^', et qui pourra se développer en série convergente suivant les puissances croissantes de u' ^
En remplaçant 2' par sa valeur dans l'équation (3), on voit
rue —7 est une fonction monodrome de u', dz
Ainsi 5 lorsque le coefficient différentiel U devient égal à une
acine multiple différente de zéro , pour que la fonction inté-
rale u reste monodrome , il est nécessaire que la fonction
implicite U , définie par l'équation
F(«,IJ) = o
tte elle-même fonction monodrome de u. C'est ce que l'on onnaîtra aisément par la méthode employée par M. Puiseux )0ur l'étude des fonctions algébriques.
246. Supposons maintenant que le coefficient diflerentiel U evienne égal à une racine multiple nulle. Posons, comme précédemment,
3 = s, -1- 3 , « == M, 4- w , — ~ If ;
équation (i) ne renfermera que des termes infiniment petits |ontenant en facteurs des puissances de u' et de U.
Comme l'a fait voir M. Puiseux, quand plusieurs racines eviennent égales entre elles en un certain point ^' = o, elles ; disposent par groupes de n racines qui se permutent le nés dans les autres circulairement, lorsqu'on tourne autour
ce point, et les n racines du groupe se développent en une
2g 2 LIVRE Vi.
solvant l'équalion, on obtient pour u une fraction rationnelle enletl' (n^lS),
Moyens de reconnaître si la fonction intégrale est mo-
nodrome,
244. Nous avons démontré que Fintégrale d'une équation différentielle de la forme
lorsqu'elle est monodrome, est ou une fraction rationnelle, ou une fonction simplement périodique, ou une fonction double^ ment périodique. Nous allons maintenant nous occuper des moyens de reconnaître si l'intégrale est monodrome, puis nous dirons comment on distingue à quelle catégorie elle appartient. Nous avons fait partir la variable z du point z==Zq^ la fonction u ayant la valeur initiale arbitraire Uq, et le coefficient ditïerenticl une valeur déterminée Uo, satisfaisant à l'équation.
Tant que le coefficient difl'érentiel —-5 que, pour abréger^ nous
uZ
représenterons par U, reste racine simple de l'équation proposée, U est une fonction monodrome de u et, par conséquent, // fonction monodrome de z. Voyons ce qui arrive lorsque, z arrivant au point Zi et n à la valeur z/j, le coefficient différentiel devient racine multiple de l'équation.
Nous distinguerons ces racines multiples en deux sortes : les racines nulles et les racines différentes de zéro.
245. Supposons d'abord que le coefficient devienne égal à une racine multiple Ui, différente de zéro. Posons
z = z, -h z\ ti = Ui-{- u', -— =IU.
dz'
Si II! est une fonction monodrome de z' autour du poinl z' = o, elle se développera en série convergente suivant leî puissances entières croissantes de z\
(2) // — U, 2' -h nz"' ■+■ bz'^ 4- ... ;
ia série commence par un terme du premier degré ayant pour coefficient Ui j car, pour z' =^ o, la dérivée
doit se réduire à la valeur Uj. La série (2) montre que, réciproquement , z est une fonction monodrome de li s'évaiiouissant avec li^ et qui pourra se développer en série convergente suivant les puissances croissantes de m',
z' z=. —■ u' -\- a ti- 4- b' u'^ -r . . . .
Ui
]En remplaçant 2' par sa valeur dans l'équation (3), on voit
que -7-7 est une fonction monodrome de u', ^ az
Ainsi 5 lorsque le coefficient différentiel U devient égal à une racine multiple différente de zéro , pour que la fonction intégrale u reste monodrome , il est nécessaire que la fonction implicite U , définie par l'équation
