F(«,IJ
reste elle-même fonction monodrome de u. C'est ce que l'on reconnaîtra aisément par la méthode employée par M. Puiseux pour l'étude des fonctions algébriques.
246. Supposons maintenant que le coefficient différentiel U devienne égal à une racine multiple nulle. Posons, comme précédemment,
2 = s, -h 3 , U = Ui -h II j — ^ ~ U ;
az
l'équation (i) ne renfermera que des termes infiniment petits contenant en facteurs des puissances de u' et de U.
Comme l'a fait voir M. Puiseux, quand plusieurs racines deviennent égales entre elles en un certain point z^ = o, elles se disposent par groupes de n racines qui se permutent le unes dans les autres circulairement, lorsqu'on tourne autour de ce point, et les n racines du groupe se développent en une
2^4 LIVRE Vï.
série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes
de z' .
(4) V = Au'n-hBu' « -{-Cm' n -f- . . . .
Nous n'avons pas à nous occuper du cas où le degré du premier terme est égal ou supérieur à l'unité^ car, dans ce cas^ quand u' tend vers zéro, z' augmente indéfiniment, et la circonstance dont il s'agit ne se présente pour aucune valeur finie de z. Nous supposerons donc l'exposant du premier terme plus petit que l'unité, et nous allons démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction intégrale reste '
monodrome , c'est que ce premier exposant - soit de la forme
. . - ou I ^ -.
En effet, si la fonction u' est monodrome, elle se dévelop*-
pera suivant les puissances entières croissantes de z' ^ et comme
la dérivée s'annule avec z', la série ne contiendra pas d^
termes du premier degré. On aura donc
(5) u' — az':' ->r bz':'-^' + cz"'-^'' -\r . . . y d'où l'on déduit
(6) -^ := naz'"-' ~\- [n -^ i) bz'" -\- . . .. ciz
En vertu de la série (5) , 5' est une fonction de u' qui se déve-» loppe en série convergente suivant les puissances croissantes
de z/", de telle sorte que
Si l'on remplace z' par sa valeur dans l'équation (6) , on aur^ une série de la forme
INTÉGRATION PÀPc LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. igO
Ceci montre bien que le premier terme de Ja série (4) doit avoir son exposant - irréductible et de la forme ou
Cette condition est suffisante ^ car si elle est remplie , l'équation différentielle donnera pour le coefficient différentiel un développement de la forme
du" dz' ~
Ku~
rt H- i
En
posant
on
obtient
du' dz' "
- nu""-
..du" dz'
Aw""-
-t-Bw'"
Crt""-^'
et plus simplement
du" A B ,, C „, dz n n n
Le coefficient différentiel -7-7 étant une fonction monodrome
dz
de u" ne s' annulant pas pour ?/'= o, la fonction intégrale u'^
est une fonction monodrome de z' et, par conséquent, u' est
elle-même une fonction monodrome de z'.
247. La fonction intégrale u peut encore acquérir des valeurs multiples d'une autre manière-, c'est lorsqu'elle devient infinie pour une valeur finie z^ de la variable z. L'équation différentielle , ordonnée suivant les puissances décroissantes de
du , , • — - 5 s écrira dz
Nous remarquons d'abord que les coefficients, que nous avons désignés Tpsir fi (11) ^f^ [u) , . . . , doivent être des fonctions entières de u. Car, si la fonction intégrale est monodrome
tig6 LIVRE Vf.
dans toute l'étendue du plan, sa dérivée jouit de la même propriété et ne devient infinie que lorsque la fonction u devient elle-même infinie. Or, si l'un des coefficients était une fraction rationnelle en m, il deviendrait infini , ainsi que — •> pour
une valeur finie de u.
Pour voir ce qui arrive quand la fonction u devient infinie pour une valeur finie de la variable , posons
d'où Ton déduit
du j dv
dz v^ dz
L'équation différentielle devient
Pour que la fonction intégrale t' soit monodrome, il faut d'abord, d'après ce que nous venons dédire, que cette nouvelle équation ait tous ses coefficients entiers. Ainsi le polynôme fi (u) sera au plus du second degré, /a {u) au plus du quatrième degré, . . , ,fm{u) au plus du degré im.
Afin de rendre u infinie, faisons p* = o. Si, pour 1^ = 0, l'équation (9) n'admet que d€s racines simples, la fonction i^ sera monodrome et, par conséquent, la fonction u le sera également. Si l'équation admet des racines multiples, on leur appliquera les caractères donnés précédemment.
248. En résumant ce qui précède, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Théorème IV. — Pour qiiune équation différentielle du premier ordre de la forme
IJNTÉGRATION PAR LES FOIVCTIONS ELLIPTIQUES. 297
admette une intégrale monodrome : i° les coefficients fx (m), fi(u), . . y f,„ [u) doii^ent être des polynômes entiers en u et, au plus, le premier du second degré^ le second du quatrième degré, . . . , le dernier du degré i m; oP quand ^ pour une certaine valeur de u, l'équation a une racine multiple différente de zéro^ — doit rester monodrome par rapport à u;
3" quand, pour une certaine valeur u^ de m, V équation a une racine multiple égale à zéro^ le premier terme du développe-
ment de —5 suivant les puissances croissantes de [u — Wi)"' cfz
doit auoir F exposant , si cet exposant est plus petit que
r unité ^ 4^ enfin V équation différentielle que Von déduit de
la première en posant u = -^ doit offrir^ pour w=o, les
mêmes caractères.
Il est évident que ces conditions sont suffisantes.
Moyens de reconnaître l'espèce de la fonction intégrale.
249. Nous avons donné les caractères auxquels on reconnaît si l'intégrale est monodrome. Nous savons d'ailleurs que, lorsqu'elle est monodrome, l'intégrale est, ou rationnelle, ou simplement périodique , ou doublement périodique. Nous allons faire voir maintenant comment on distingue à laquelle de ces trois catégories appartient la fonction intégrale.
Il peut arriver que, u étant considérée comme la variable et z comme la fonction, z devienne infinie quand u tend vers une certaine valeur. Si, pour une valeur finie u^ de «, l'équation (8) admet une racine nulle, et si le premier terme du développement
(lu
— — A{u— ii,T~h. . .
a un exposant - égal ou supérieur à l'unité, il est évident que, lorsque u tendra vers la valeur Ui, z augmentera indéfiniment.
De même, si, pour i^ = o, l'équation (9) admet une racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité par rapport à i^, quand w tendra vers zéro, ou 11 vers l'infini, z augmentera indéfiniment.
