Quand aucune de ces circonstances ne se présente
c'est-à-dire quand, dans les équations (8) et (9), les racines
nulles sont, par rapport à u — Mi ou à p^, d'un degré inférieur à
l'unité, z ne devient infinie pour aucune valeur finie ou infinie
de u. Il est aisé de voir que, dans ce cas, la fonction intégrale u
est doublement périodique. Concevons, en effet, que la variable
Il se meuve dans toute l'étendue du plan, partant de l'origine
Fig. 33. u =iUo^ suivant des chemins
rectilignes, et aussi en décri-
~T 7 7 I vaut les m — i contours qui
f / / C . . . dz ,
, / / / / loni acquérir a — - les m va-
d I c 1 1 A du
/^\'i"/~^\ / / leurs qu'il peut avoir en
/ M / M'/ / chaque point. Puisque la
I I I I lonction z conserve une va-
leur finie, elle décrira une portion limitée du plan [fig. 33). Prenons un point M' en dehors de cette portion du plan; z étant considérée comme la variable et u comme la fonction, quand z arrivera au point M', la fonction u aura une valeur
déterminée, ainsi que sa dérivée — -• A ces valeurs de u et
dz
de — - correspond, dans la portion limitée du plan, un certain
point M; le quantité géométrique MM\ que nous désignerons par 0), est une première période. Car, aux deux points M et M',
la fonction u et sa dérivée — ayant les mêmes valeurs, il est
clair que, si la variable ^, partant de chacun de ces deux points, décrit des lignes égales et parallèles, telles que MN, M' IN', la fonction u aura sur ces deux lignes, aux points correspondants N, N', la même valeur. Ainsi la portion finie dit plan abcd se reproduit à côté une première fois, puis unQ
seconde fois, et indéfiniment. On obtient de la sorte une bande indéfinie. Prenons, en dehors de cette bande, un point IN'F; à ce point ]VF correspond un point M dans la portion finie du plan abcd, et Ton verra de même que la quantité géométrique MJVF, que nous désignerons par w', est une seconde période. Grâce à ces deux périodes w et w', la portion limitée du plan abcd^ se reproduisant dans les deux sens, couvrira tout le plan. Ainsi, dans le cas que nous considérons, la fonction intégrale u est doublement périodique.
Il est évident d'ailleurs que ceile condition est nécessaire ; car une fonction doublement périodique prend toutes les valeurs , quand la variable z se meut dans un parallélogramme des périodes, et elle décrit un nombre infini de contours quand z augmente indéfiniment. Réciproquement, z ne peut devenir infinie que si u décrit un nombre infini de contours.
251 . Considérons maintenant le cas où l'intégrale est rationnelle, et supposons d'abord que le degré du numérateur ne surpasse pas celui du dénominateur. Quand z augmentera indéfiniment, u tendra vers une valeur finie et déterminée u^. Si l'on pose
u = Ml H- u' z=. --,
w'.se développera suivant les puissances entières croissantes de t pour toutes les valeurs de t inférieures à un certain module, ou pour toutes les valeurs de z supérieures à un certain module, et l'on aura
u' = at" -h è^''+' -h . , . .
On en déduit
t =z u'll''"^b' II'" -+- C' «/" -t-. . . ,
les nouveaux coefficients étant liés aux premiers par les relations
rt''' = -, ba""-^ nab' z=o,.. , a '
300 LIVRE YI.
En difierentiant , on a
— = nat"-' -\- (n + \) bt" + . . • ,
du' du' , . ,
-- =: — ^' -T- = — naf'^' — (/^ + I ) bt''-^' + . . . : dz dt \ J
si Ton remplace t par sa valeur en fonction de a', il vient
dz
Il est à remarcjuer que, en vertu des relations qui existent entre
nH-2
les coefficients , le coefficient du terme en il " est nul. Ainsi, à une valeur finie u^ de u correspond, dans Téquation différentielle, un groupe de n racines égales à zéro, et telles que le premier terme du développement a un exposant irréductible supérieur à l'unité et de la forme ou i -f- -5 le second
nu
terme manquant.
Si le numérateur de la fraction rationnelle est d'un degré plus élevé que le dénominateur, u augmentera indéfiniment avec z\
mais v=^- tendra vers zéro, et, pour i^ = o, l'équation (9)
offrira un groupe de n racines égales à zéro satisfaisant aux
conditions énoncées plus haut.
Réciproquement, si l'équation (8) pour une valeur finie u^
de M, ou l'équation (9) pour p» = o, présente un groupe de n
racines égales à zéro satisfaisant à ces conditions, c'est-à-dire
ayant un développement de la forme (10), la fonction intégrale
est algébrique. Car, si l'on pose z/= il'" y l'équation (10)
devient
du" n-—=k a"^ -{- C u'" 4- D «"* + ... , dz
ndu"
=■ dz
Au"' 4-Cw/'^ 4-Dw''''-h. .
(^, 4- C H- LV u" + . . . ^ du" =: dz;
INTÉGRATION PAU LÈS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3o
en intégrant et ajoutant une constante arbitraire B', on a
— -h B' -+■ Cil' H u
On conclut de là que v!' est une fonction monodrome pour
toutes les valeurs de t inférieures à un certain module -, et
qui se développe en série convergente suivant les puissances
entières croissantes de f ,
u" Z= CLt -k- ^f -k- 7 ^ ~f- . . . ; on a donc
u! = or -4- bt"-^' -h . . . .
Il en résulte que la fonction u conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de z extérieures au cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal à Tî ; c'est donc une fonction rationnelle.
Lorsque la fonction intégrale n'est ni doublement périodique, ni rationnelle, elle est simplement périodique. C'est d'ailleurs ce que l'on reconnaît directement, lorsque l'équation différentielle, pour une valeur finie de u, ou l'équation (9) pour i^= o, admet une racine nulle qui ne présente pas les caractères énoncés plus liaul, et en même temps on trouve la période.
252. En résumant ce qui précède, nous avons le théorème suivant :
Théorème. ^ . — Lorsque Véquation différentielle remplit les conditions qui rendent V intégrale monodrome^ 1° V intégrale est doublement périodique, si Véquation pj^oposée^ pour aucune valeur finie u^ de u, et la transformée pour P'^o, n'admettent de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à r unité par rapport au — u^ ou à r; 2° l'intégrale est rationnelle^ si Véquation proposée pour une valeur finie u^ de u.
OU la transformée pour p» = o, admet un groupe de n racines égales à zéro, dont le développement , suivant les puissances I I
croissantes de [u — «i)" ou de p»", commence par un terme du
desre , le terme suivant du désire étant nul;
3° autrement la fonction est simplement périodique.
Quand on a ainsi reconnu la nature de Tintégrale, on peut se proposer de la déterminer à l'aide des éléments connus. Si elle est rationnelle , on trouvera les deux polynômes qui la composent. Si elle est simplement périodique, on l'exprimera rationnellement à l'aide de l'exponentielle ou de la tangente. Si elle est doublement périodique, on l'exprimera rationnellement à l'aide de la fonction elliptique et de sa dérivée-, ce qui constitue une véritable intégration au moyen des Tables des fonctions elliptiques.
