Considérons d'abord le cas très-simple où le second

P membre ne contient qu'un seul facteur [u — a)". Si l'exposant - est inférieur à l'unité, il doit être de la forme i 5

mais alors l'exposant de u dans la transformée est i H — ; donc

l'intégrale est rationnelle et ne devient infinie que pour z:=cc \

c'est une fonction entière du degré n (n"251). Si l'exposant -

est supérieur à l'unité, celui de ^ étant inférieur à l'unité et

devant être de la forme i 5 il faut que - soit égal à i -h -:

la fonction est rationnelle et tend vers a quand z augmente

indéfiniment. Si l'exposant -est égal à l'unité, celui de v est

aussi égal à l'unité, l'intégrale est monodrome et simplement périodique.

25o. Supposons maintenant que le second membre contienne au moins deux facteurs.

Si le premier exposant - est plus grand que l'unité, il n'y

aura que deux facteurs, sans quoi la somme des exposants surpasserait deux, puisque chaque exposant est au moins égal

3o4 IIVUE VI.

à -• Le second (3xposaiit — étant inférieur à Tuniié et de la

forme i ,•> l'exposant de p» est i H — ■ — -\ étant plus petit

que l'unité, il doit être de la forme i •> d'où

Il faut que la somme des deux fractions— H surpasse l'uni té 5

il n'y a qu'une manière d'arriver à ce résultat, c'est de prendre n^ = I, alors - = i -f — • L'intésfrale est rationnelle. On

l'obtient aisément par une intégrale binôme. Ainsi l'équation différenlielle

admet une intégrale rationnelle, quel que soit n.