Quand le premier exposant- est égal à l'unité, il ne

peut y avoir que trois facteurs au plus. S'il y en a trois, pour que la somme des deux autres exposants ne surpasse pas l'unité, il faut prendre— = —, = -' S'il n'y a que deux facteurs, le second exposant peut aussi être égal à l'unité 5 s'il est plus petit que l'unité et de la forme i ^5 pour que l'exposant ~

de t^ soit de la même forme, il faut prendre 71' = 1. Nous trouvons ainsi trois équations différentielles

du , ^ ,

' [Il — a) \^ [il — ô] [a — c) ,

dz du

'di

du

IJVTÉGRVTIOJS PAR LES lO^CilOXS ELLIPTIQUES. 3l)5

qui admettent des intégrales monodiomes et simplement périodiques. On sait intégrer ces équations.

257. Il nous reste maintenant à examiner le cas où tous les exposants sont inférieurs à Tunité. Nous remarquons d'abord

que chacun des exposants étant de la forme i et, par con-

séquent, égal ou supérieur à -> il est impossible que le second

membre renferme plus de quatre facteurs, sans quoi la somme des exposants surpasserait 2. Il n'existe même qu'une seule combinaison de quatre facteurs : on l'obtient en prenant les

quatre exposants égaux à -•, on a ainsi Féqualion différentielL du

qui admet pour intégrale une fonction monodrome doubleblement périodique. L'exposant de p*, dans la transformée, étant égal à zéro, la fonction a deux infinis simples dans chaque parallélogramme élémentaire.

Voyons les combinaisons de trois facteurs. Les trois expo-

P P' P" ' 1 1 r I I II,

sanls -5 —,i —, étant de la forme i ^ i -•) \ -, Icx-

posant de k> est