Examinons enfin les combinaisons de deux facteurs

L'exposant de r devient — | --^ cet exposant, ne pouvant dans

le cas actuel surpasser l'unité, sera égal à l'unité ou de la

forme i • Pour qu'il soit égal à l'unité, il faut prendre

n =z 71^ ::= 25 on obtient ainsi l'équation différentielle

qui admet une intégrale monodrome simplement périodique. Si l'exposant de u est inférieur à l'unité et de la forme i >

I^TÉGRATIOIV PAR LES FOJN'CTIO,\S ELLIPTIOLES. ^O^

il sera égal ou supérieur à -; il faut pour cela que le plus petit

des deux nombres n et n' ne surpasse pas 4f nous ne pouvons

donc faire sur n que les trois hypothèses /z = 2, /î= 3, /i=4.

1°. Soit n= 1. L'exposant de t^ devant être de la forme

I — —5 les deux nombres n' et /z, vérifieront l'égalité

- H r=i ' ou-yH =z -. On peut satisfaire à cette

égalité de trois manières : en prenant /i^=3, //i=6, ou n! =: 6, /2i = 3, ou «= 4, «1 = 4-

2^. Soit /i = 3. Les deux nombres ti! et /Zj doivent vérifier

l'égalité -7 H = 0' ^ï^i admet deux solutions nouvelles,

ou n' = 3, /2i = 3, ou /î'= 6, «1 = 2.

3°. Enfin soit/z=:4. Les deux nombres n^ et ^i doivent vérifier l'égalité -7 -\ = -7? qui n'admet qu'une solution

nouvelle ai' = 4, «, = 2.

Nous trouvons ainsi les six équations différentielles

IduY

G {il ~ o'f [u-^b)\

qui admettent pour intégrales des fonclîons doublement périodiques.

2o9. n résulte de ce qui précède que, parmi les équations

3a8 LIVRE YI.

différeiilicîles de la forme

outre les cas ]3|irticiiliers dans lesquels l'intégrale est rationnelle ou simplement périodique, il y en a onze qui donnent naissance à des fonctions monodromes doublement périodiques, et il n'y eu a que onze. Nous rangerons ces onze équations dans l'ordre suivant :

( 2 ) 1^ j ' = G (« — a) (« — b) {«. — <■) (« — rf),

l(tu\ "

ldu\ «

j — G (« — ay (u — /;)^

Ces fonctions se distinguent les unes des autres par les infinis. La valeur de l'exposant de p» dans l'équation transformée montre que, dans chaque parallélogramme des périodes, les deux fondions^, définies par les deux érjuations du second de-

IM'ÉGRATION PAR LES FOJXCTIOKS ELLIPTIQUES. 3o9

§ré, admettent : la première, un infini double; la seconde, deux infinis simples. Les fonctions, données par les deux équations du troisième degré, admettent : la première, un infini triple-, la seconde, trois infinis simples. Les trois fonctions du quatrième degré ont : la première, un infini quadruple^ la seconde, deux infinis doubles; la troisième, quatre infinis simples. Enfin, les quatre fonctions du sixième degré admettent : la première, un infini sextuple; la seconde^, deux infinis triples; la troisième, trois infinis doubles; la quatrième, six infinis simples.

260. Dans le cas actuel , il est facile de vérifier les conséquences auxquelles nous sommes arrivés; car, la fonction inverse étant donnée par une quadrature

/"" du

on reconnaît aisément Texistence des périodes en suivant la méthode que nous avons employée, dans le chapitre m du livre II, pour les équations (i) et ( 2 ). Prenons comme exemple 1 équation (i i) ; si , pour fixer les idées, on suppose quà ^ = o correspond la valeur initiale // =^ o, on aura à étudier l'intégrale définie

__ /"« du

Marquons dans le plan les trois points «, h^ c, et appelons y

la quantité e ^ ou e ^ Quand a décrit une petite courbe fermée autour du point a , la valeur de - est multipliée par;^ ; de même, quand u tourne autour du point h ou du point c, la valeur de - est multipliée par j^ ou par y.

Désignons par|(A) le contour élément ai le que Ion a à considérer lorsque la variable u va en ligne droite de l'origine o à un point voisin du point a {fig. 34), puis décrit un petit

3lO ' LIVRE VI.

cercle autour du point «, et revient à l'origine par la même Fig, 3/;. ligne droite. Nous désigne-

rons de même par (B) et (C) les contours élémentaires qui se rapportent aux points b et c. Enfin nous représenterons par A, B, C, les valeurs de l'intégrale définie, quand u décrit chacun de ces trois

contours, U ayant à l'origine la valeur initiale Uo.

Si la variable u décrit successivement, et dans un ordre

quelconque, k fois le contour (A), k' fois le contour (B),

k" fois le contour ( C ) , la valeur de - sera multipliée par

pk+w+kii ^ Pour avoir les périodes, il faut prendre les combinaisons qui ramènent la valeur initiale Uo (11*^239), et par conséquent celles pour lesquelles l'exposant 3 /r -h Q.k' -{^k" est un multiple de 6.

On pourrait prendre deux fois le contour (A), ou trois fois le contour (B), ou six fois le contour (C) ^ mais dans ce cas la valeur de l'intégrale définie est nulle. Par exemple, décrire six fois le contour (C) revient à marcher d'abord suivant le chemin rectiligne oc, puis faire six fois le tour du point c, ce qui

ramène la valeur primitive de - •, et enfin revenir à l'origine

suivant la droite co ; l'intégrale définie le long des petits cercles étant infiniment petite , et les deux chemins rectilignes

parcourus en sens inverse avec la même valeur de - se détruisant, il est clair que l'intégrale totale est nulle.

On revient aussi à la valeur initiale, quand on parcourt successivement les trois contours (A), (B), (C) , ce qui correspond à la solution

niiiis l'intégrale définie est encore nulle. En elï'et, de l'origine comme centre avec un rayon très-grand , décrivons un cercle

ÏJNTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELlIPïiQUES. 3ll

€t supposons que la variable parcoure d'abord un rayon, puis la circonférence, et revienne à l'origine par le même rayon. Ce contour équivaut à la somme des trois contours élémentaires

pris dans un ordre convenable, et - reprend sa valeur primitive 5 l'intégrale le long de la circonférence infiniment grande étant infiniment petite puisque - est un infiniment petit du

second degré, et les deux chemins reciilignes se détruisant, l'intégrale totale est nulle. On a donc, en supposant les trois points a, b^ c, disposés comme l'indique la figure,

Comme 7^ = — i , il résulte de là

A = B + Cj\

et le contour élémentaire (A) peut être remplacé par la somme des deux contours (B) et (C). Il suffit donc, pour avoir toutes les périodes, de combiner les deux contours (B) et (C) , de manière que ils! -^ h" soit égal à 6. Cette équation admet les deux solutions

x'=i,r = 4 et A-' = 2,r=:2.

Considérons d'abord la solution //= 1 , A'' = 4 ? qui indique une fois le contour (B) et quatre fois le contour (C). On peut parcourir ces contours dans différents ordres :

1°. D'abord le contour (B), puis quatre fois successivement le contour (C), ce qui donne l'intégrale définie, ou la première période

B -f- C/ -h C/ + C/ + C/ = B — C — Cy =: w ;

2". D'abord une fois le contour (C), puis (B), et ensuite trois fois (C), ce qui donne la seconde période

C + By H- C/ 4- Cy' 4- Cf ^ ^^j ; 3®. D'abord deux fois (C), puis (B), et ensuite deux fois

3l2 LIVRE VI.

C 4- Cy -+- Bf -h c/ -hCP=z co/ = o^J--^;

4^. D'abord Dois fois (C) , puis (B) et ensuite (C), ce qui donne

C H- Cy + Cf + B/ 4- C/ = oyf r= o>;

5". D'abord quatre fois (C), puis (B), ce qui donne

G -h Cy -f- Cf -f- C/ + Bf = o>f =z — wy.

On voit que toutes les périodes se ramènent aux deux premières.

Considérons maintenant la solution /['== 2 , /r"= 2. Les trois combinaisons

C -h Cy 4-By^ -^ Bf = C -h Cj — B = — oy, B -h Cf + Cf + Bf = — a)y% B 4- By^-f- CZ-f- C/ = — «/,

donnent encore des périodes qui se ramènent aux précédentes. Ainsi il n'y a que deux périodes distinctes, o) et wji*. A chaque valeur de u correspondent six valeurs de z ,

C-hJz = z', C-\-Cj+fz = z", C-+-Cj^-Cf-\-fz=ziCj-z, C -h Cy 4- C/4- Cf +f z = 2 Cy — z' . C -h Cy 4- CyH- C/^ 4- C/' 4-y^ z = 2 Cy - z'^

261 . Par des transformations convenables , il est possible d'exprimer, à l'aide des fonctions elliptiques, les onze fonctions doublement périodiques dont nous avons reconnu l'existence.

Si l'on pose

on voit d'abord que l'équation (2) se ramène à l'équation (i),

INTÉGRATION PAR LES FOKCTIO.NS ELLIPTIQUES. 3l3

équation (4) à l'équation (3). En posant

Il = ()■+■-

on ramène de même les équations (6) et (7) à l'équation (5) , les équations (9) et (10) à l'équation (8). En posant

on ramène aussi Féquation (1 1) à léquation (8).

Mais on ramène les équations (5) et (8) à l'équation (i) , en posant, dans le premier cas ,

u z= b -h u'^, dans le second cas

Il reste donc à exprimer, à l'aide des fonctions elliptiques , les fonctions définies par les équations (i) et (3). Si l'on pose

W rzr rt -f- u'-,

l'équation (i) devient

= T¥¥A'-'-'n(^-h''in^