II- et h- désignant les constantes •, Si Ton fait

maintenant u' :=■—•, l'équation se réduit à

cette dernière équation admet pour intégrale générale

oL désignant une constante arbitraire.

262, Occupons-nous maintenant de l'équation (3) que, par

3l4 LIVRE Vt.

une Irajislormalion facile , on peut mettre sous la forme

Nous supposons, pour simplifier, que, dans cette dernière équation, à ^ 1= o correspond la valeur initiale m = o et

— ^1. La fonction définie par cette équation différentielle

est impaire. Si l'on appelle 00 et co' ses deux périodes, on sait, d'après un raisonnement déjà fait plusieurs fois, que les quatre

valeurs ^ = 0, z =^, ^ = — , z = 5 rendent la tonc-

lion nulle ou infinie^ celte fonction admettant un infini triple,

nous pouvons supposer que cet intini triple est ? les trois

zéros étant o, -> — Soit '^(gz, k) la fonction elliptique qui

admet les deux périodes w et w' *, il est clair que l'expression de Il en fonction de 1 aura la forme suivante :

(i3) u= M'-hBl-hClV.

Il s'agit de déterminer les cinq constantes A, H, C, ^, A. En diiférentiant , on a

dz

Aux trois valeurs ^ = 0, z =-') z z= —t correspondent pour

du ^ , — I 4- i i/3 — 1 ^ / ^ 3 .

-7- les valeurs i , ^— 5 — 5 qui sont les trois

dz ^2 2 ^

racines cubiques de l'unité. Si l'on fait z = o, z=:-, il

vient

IKTÉGRATIOK PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3l5

? d ou

Servons-nous maintenant de la valeur de À (5) développée en

eerie

et posons z = \- z ■. on a

et en substituant dans la valeur de u, après avoir remplacé z par gz,

A— ex A(n- A-^) + 2BX-^ u = ! ■ 1- . . .

^3A-3z'3 ^ 2Pgz'

La fonction devant s'évanouir pour z' = o, il en résulte les deux conditions

A — CX = o, A(H- X-^) H- 2BX- = o;

on en déduit