du j I w
du premier degré en — manque dans 1 équation.
dz On a ici
ce qui donne
Cette équation n'aura que des racines doubles si le polynôme du sixième degré — P' + Q est un carré parfait. Nous poserons donc
en appelant R un polynôme du troisième degré au plus. Telle est la condition générale à laquelle doit satisfaire l'équation du troisième degré, pour que l'intégrale soit monodrome et doublement périodique.
265. Considérons maintenant une valeur de u annulant Q^ à cette valeur u^ correspondent, dans l'équation (5), des racines égales à zéro. Posons
u =z iti H- u' ; l'équation devient
u^ 4- (p, -h P', 'i' -h P'[ —]v'-}- q\ u' + Q'; Jil +...== G.
Si Ml est racine simple de Q et n'annule pas P, U a deux valeurs infiniment petites ; le groupe des termes du degré le moins élevé étant Pi U^ -+- Q', //, le premier terme du développement
de U suivant les puissances de 1/ '^ a l'exposant -5 lequel est de
INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Sli)
la forme voulue i (n*^ 216). Si //j est racine double de Q
et annule P , U a trois valeurs infiniment petites ; le premier groupe étant U^ -h Q^^ ? le premier terme du développe-
ment a l'exposant^ qui est encore de la forme voulue. Ainsi,
pour que la fonction intégrale soit monodrome et doublement périodique, il faut que les racines simples de Q n'annulent pas P.^ et que les racines doubles de Q annulent P. D'ailleurs Q ne doit pas avoir de racine triple.
Si une racine simple de Q annulait P, l'intégrale cesserait d'être monodrome. Si une racine double de Q n annulait pas
P, le premier groupe étant Pj U^ -f- Q" — , U se développerait
suivant les puissances entières de i/ -^ le premier terme étant du premier degré, l'intégrale resterait monodrome, mais serait
simplement périodique. Si Q avait une racine triple n'annulant pas P, le premier groupe étant P^U- H-Q7 5 et le
premier terme du développement ayant l'exposant -• l'intégrale serait rationnelle (n*^ 251).
266. Il reste à examiner de la même manière, pour u= o^ la transformée
l'our que Tinlégrale soit doublement périodique, le dernier terme ne devant pas avoir de racine triple pour p* = o, il faut que le polynôme Q soit au moins du quatrième degré. Désignons par p le degré du polynôme P, et par q celui de Q II y a trois cas à considérer : i^ q = 6 i l'équation, pour t^ = o , admet trois racines différentes de zéro 5 dans ce cas, la fonction doublement périodique a trois infinis simples dans chaque
parallélogramme^ i^ g = 5 -^ la valeur v = o étant racine simple du dernier terme et ne devant pas annuler le coefficient de V^, le polynôme P sera du second degré; comme à i^ = o correspondent pour V une racine simple différente de zéro et deux racines égales à zéro, la fonction doublement périodique aura un infini simple et un infini double ; 3^ ^ = 4 ? la valeur u = o étant racine double du dernier terme et devant annuler le coefficient de V^, le polynôme P sera au plus du premier degré-, V ayant trois racines égales à zéro, la fonction doublement périodique aura un infini triple.
