Exemple I. — Soit l'équation différentielle

U3 4- 3 U^ — 27 tt^ — 4 = o ;

nous supposons que la variable part de z = o , la fonction ayant la valeur initiale m = o, et la dérivée la valeur correspondante U = I .

Le polynôme Q n'a que des racines simples qui n'annulent

pas P. Le polynôme — P^ -{- Q r=r — lyii^ est carré parfait.

La transformée

pour 1^ = 0, admet une racine triple infiniment petite et du

degré ^- Ainsi , en vertu du théorème V (n°252), l'intégrale

est monodrome et rationnelle; à p» = o correspond seulement z = 00 : c'est donc une fonction entière du troisième degré.

La variable u n'entrant dans l'équation qu'à des puissances paires, si l'on fait marcher u à partir de l'origine, suivant deux

dz chemins opposés, il est évident que— aura la même valeur

le long de ces deuxcheminS;, ce qui donnera pour z des valeurs égales et de signes contraires. On en conclut que, réciproquement, à des valeurs de z égales et de signes contraires correspondent des valeurs de u égales et de signes contraires. Ainsi la fonction entière ne contient que des puissances impaires;

EXEMPLES d'intégration. 321

elle est de la forme