Exemple IIL — Soit réquatiou

TP — IJ2 -h /{ u' — 27 a' = o.

La variable z part toujours de 2 = o, la fonction ayant Ja variable initiale if = o et la dérivée la valeur U = i .

Le polynôme Q a ici une racine triple u = o^ à laquelle

correspond povir U une racine double infiniment petite et du

degré - par rapport à m. Le polynôme

est un carré parfait. La transformée

n'admet, pour ^' = o , que des racines simples diflerentes de zéro. On conclut de là que l'intégrale est monodrome et rationnelle.

Comme elle devient infinie pour trois valeurs finies de 2 , et infiniment petite du second degré pour z = 00 , son dénominateur est du troisième degré , son numérateur du premier degré. L'équation différentielle ne contient que des puissances de u multiples de trois. Car, si l'an fait marcher u à partir de l'origine, suivant un chemin quelconque, puis suivant un autre

que Ton déduit du premier, en multipliant u par j = e ,

dz

-—ayant la même valeur le lonsf de ces deux chemins, z de-

du ^

viendra jz. Réciproquement, quand on remplace u par yz, u devient ju. Ainsi la fraction rationnelle est de la forme

Pour // = o, U a une racine double infiniment petite 5 le premier groupe — U^-4- 4?*^= o donne u = -• Donc A = i.

et l'intégrale cherchce est

EXEMPLES d'iMTÉGRATION. 32^