Exemple IV . — Soit l'équation

u^ -+- 3 (« — lyw + ^ [li — \y a — 2)* — 4 (« — 2}« =: o.

La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale M = G et la dérivée la valeur U = i .

Le polynôme Q a une racine quadruple z/= 2, qui entre deux fois dans P ^ U admet trois valeurs infiniment petites dont

le premier terme du développement a pour exposant -• Les

autres racines de Q sont simples. Le polynôme — P^ 4- Q est carré parfait. La transformée

a trois racines simples pour k^ = o. On en conclut que Tintégraleest une fraction rationnelle du troisième degré

Q.-J-\- Dz^-f-Ez-f- I

Quand z augmente indéfiniment , u tend vers la valeur 2 : donc A = 2C. Si l'on pose zz = 2 -H u' ^ l'équation, bornée au premier groupe ,

donne

Comme

ID

il en résulte

Cz^H-Dz-^-h Ez -h I ~~

Si Ion développe la fonction U dont la valeur initiale est i, suivant les puissances croissantes dew, on a, pour les deux pre-

32t4 LIVRE rr,

miers termes ,

U — 1 + 8« , tl'où u = z f 4z%

ee qui donne

Nous connaissons maintenant toutes les constantes-, l'intégrale cherchée est