Exemple F^. — Soit l'équation
La variable part de 2 = o, la fonction ayant la valeur initiale z« = o , et la dérivée la valeur U = i .
Le polynôme Q admet la racine double w = o, qui n'annule pas P, et à laquelle correspondent pour U deux racines infiniment petites, monodromes et du premier degré. Le polvîiome
iL. p3
est carré parfait. La transformée
pour P'rrro, admet trois racines infiniment petites du de-
gré -• On conclut de là que l'intégrale est une fonction mono-
drome simplement périodique, ayant un infini triple dans chaque période.
La période se produit quand // tourne autour de l'origine^ U ayant une valeur infiniment petite. L'équation, bornée au premier groupe
U - + 4 11^ =z:. O , OU = Hz 2 ulz y
nionne que la période est tt.
EXEMPLES DlKTÉGRATIOJf. 325
LMquatioii ne contenant que des puissances paires dez^, comme dans l'exemple I, la fonction u change de signe avec z. Donc
/(î) = -/(-i)=-/fi
Ceci ne peut avoir lieu que si z =- est un zéro ou un infini ^
mais la fonction ne devient nulle que pour 2 = o et z = oo ; il
en résulte que z = - est l'infini triple.
La fonction simplement périodique u s'exprime rationnellement au moyen de la fonction langz qui a la même période tt. L'infini étant aussi le même, l'expression est entière, et l'on a
u z= A tang z -h B tang^ 2.
Pour 2 = o , U = I ; donc A = i . Pour les petites valeurs de w, le développement de la fonction U, dont la valeur initiale est i, borné aux deux premiers termes , est
U = i-i-4«% d'où u = z -^^z^',
donc B = I. La fonction intégrale a pour expression
u =z tang z -+- tang^ z.
^11^1. Exemple VL — Soit l'équation
La variable part de 2 = o, la fonction ayant la valeur initiale u = <>, et la dérivée la valeur U = i .
Le polynôme Q admet la racine double w = o qui n'annule pas P^ les deux valeurs infiniment petites de U sont du premier degré. Quand u tend vers zéro, z augmente indéfiniment,
et Ton a la période w = — ^ nL Le polynôme — P^ -4- Q est <^arré parfait. La transformée
pour u= o j admet trois racines simples
Vo--|^'2, v,^--|5/i.y, v.=^--|^2.yS
\j = e '^ y, ce qui fait trois infinis simples. Ainsi l'intégrale est monodrome et simplement périodique. Cette foîiction s'exprimera rationnellement au moyen de tang —
Si Ton remarque que u ne devient nulle que pour 2 = o et 2 r= Qo , et que les valeurs de Vq , \\ , V2 sont les racines d'une équation binôme, on voit que l'expression a la forme
W Tt Z / TZZ^
- tang i-f- tang^ —
A tang^ h I
Pour trouver le coefficient A , développons la fonction U , dont la valeur initiale est 1, pour les très-petites valeurs de u. On a, en se bornant aux trois premiers termes ,
Toù l'on déduit
En développant de même l'expression de // et identifiant, on trouve
TV
Ainsi l'intégrale cherchée est
W TZZ / TCZ
- tang — 1 4- tang^^ —
w TT Z 2
I H — tang^ —
rr ^ co
^73. Exemple FIL — Soit T équation
