EXEMPLES D INTÉGRATION

La variable part de ^ r^ o, la fonction ayant la valeur u = o et la dérivée la valeur li = i .

Le polynôme Q n'a que des racines simples qui n'annulent pas P. Le polynôme— P^ -h Q est carré parfait. La trans-

ibrmée

pour ^' :::= o , se réduit à V^ — i n;. o et a trois racines simples différentes de zéro. On en conclut que l'intégrale est monodrome et doublement périodique (n° 252).

Posons y = e ^* .Si l'on remplace z paryz, u devient ju, et la dérivée ne change pas ^ la fonction change de signe avec z. Les deux périodes sont w et /o). La fonction a trois infinis

simples,

w yw y^w

et trois zéros simples,

Nous nous proposons d'exprimer cette fonction doublement périodique au moyen de la fonction elliptique X (gz, A), qui admet les deux périodes w et /w. On sait que les deux zéros

de la fonction elliptique sont o et -■> et les deux infinis ~ et "^ —

La fonction iil na plus l'infini -? mais elle a les deux infinis doubles — et — : elle s'exprime donc de la manière sui-

vante :

(a) «A = AV+B4-CV;

^ le polynôme du second degré en / ne contient pas de terme du I premier degré , puisque la fonction ///. ne change pas quand on rhange le signe de X.

11 faut déterminer les cinq constantes A, B , C, ^, A. Le développement de la fonction elliptique suivant les puissances croissantes de z est

d'où

D'autre part, la fonction implicite U, dont la valeur initiale <?st l'unité, a pour développement

d'où

En substituant dans l'équation (a) et égalant les coefficients des mêmes puissances de z jusqu'à la quatrième inclusivement, il vient

(1) Bh-C = o,

(2) Ag^ — C — ~-g-=i,

.3, cl-£l-iM-,,ii±'

L'équation transformée, pour p» = o, se réduit à V^ — 1 = 05 les trois racines sont i, /^,7*. On peut supposer que la pre-

miere se rapporte a z = - 7 la seconde a ^ == — et la troisième

à"- — • Posons d'abord z-= — h ^\ on aura, en se bornant au

premier terme,

r = z', d'où uz=L -'

Mais on sait que