A + CX-= — ^X

Mais nous verrons que cette relation rentre dans les précédentes.

Les équations (i) et (4) donnent

Les équations (5) et (6), par soustraction, donnent de même C = -• Ainsi la relation (6) rentre dans les premières. De l'équation (5) on déduit

33o LIVRE VI.

Si 5 pour abréger, on pose

les équations ( 2 ) et (3 ) donnent

d ou

^-i— =^' n:: 2 V/3/, X' = i [sJZ i 2 ) ,

Si l'on prend les signes supérieurs , on a finalement

/— /(2H-s/3), -^— 3+2v3, C=^, B = — ^, Arr:-i, ' g' ->■ 2 2g^

et Tintégrale a pour expression

274. Exemple Vlll. — Soit l'équation U3 3U'^ — 2(w^— i)^-f-4 = o.

La variable part de 2 = o , la fonction ayant la valeur initiale // z=z o, et la dérivée la valeur U =:: i .

Cette équation présente tous les caractères qui font reconnaître une intégrale monodrome et doublement périodique. J.e polynôme Q n'étant que du quatrième degré, cette fonction admet un infini triple. Désignons par w et w' les deux périodes. JLa fonction changeant de signe avec z^ ses trois zéros seront

o, -î — , et son miini triple

Nous exprimerons encore cette intégrale au moyen de la

fonction elliptique \. La fonction -? n'admettant plus qu\in infini double -> aura une expression de la forme

Aa' + B4-C)/.

EXEMPLES d'intégration. v"i3l

On aura donc

(a) ,< — >, (AV-f- B-hCV).

Il faut déterminer les cinq constantes A, B, C, ^, /»•

Pour les valeurs très-petites de ^, en se bornant au premier terme, on a

ce qui donne la relation

Pour // =: o, Téquation dilTérentielle devient

si l'on supprime la solution U = i qui correspond à z =^ o ^

elle se réduit à

U^__2U — 2=0; d'où

U = iq=v/3.

à z =z — Posons z = — h z\ nous aurons 2 2

Faisons correspondre la première racine à ^ = - la seconde

— h 2: , nous au

Il = [i — \'o) z' ;

d OÙ l'on déduit, en substituant dans l'équation (a),

Posons de même z = \- z\ nous aurons

et, en substituant dans l'équation (a), nous obtiendrons le& deux relations

La transformée

donne, pour le premier terme du développement,

en posant z = f- ^^ Si l'on substitue dans réquation

3c), on trouve la relation

A-hC/^ =^gHK

Nous avons maintenant un nombre d'équations sutfisant pour la détermination des constantes. Les équations (i), (2), (3), donnent

Substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), on obtient les deux équations

ii£ = ,(3 + ,^3), ^, , 2 ( 2 - y/ï) d'où 1 on déduit

/;- = (3 + 2 s/3)zb2 v5h- 3v/3, Ag^rz."'"^^,

et rintégrale chercbée a pour expression

«— ■X(Aa'-+- B-f- CV).

^75. Nous allons vérifier que celte fonction satisfait bien à l'équation différentielle proposée. Voici le calcul de vérification. On a, en diiîérentiant,

- — (3A>'-f B)a' 4- Cl^'^-f-AA"),s

EXEMPLES D ISTÉGUATION. 333

d'où Ton déduit

^— i8eA^A^-{-48B^C/-À«+(29B'/?^-4- i5C2/-^)X*

-f-[i4BC— B'(i4- X-)]À' -h (B^4-C%^

-^ 2>/ [gC^ /■■).«+ r5BC/-^A'-f- (3C-^/- 4- 4B=/)V+ BC],

— = io8C^X'').'^-h432BC2/-^).'«+(549B'C/M- c35CM')>-*

-h (238B / 4- 3o6BC'X5) ).«

H-[36CU--|- r68B^CX^— i2B-'(i-f-/-^)/]A*

-h (3oBC2 /- -4- i8B^ A)r- -h (Oh- 3B^C)

io8C^/-^).'"-f- 324BC'X-n« \

[ +(279B^CA^-H8ïe/-^)>.'= f

1 +[33B'CX- -H 90^/- — B^( I -h X^^)]),2 l ' -h(3BC^-l-BM ■

On a, d'autre part

II' = 2 A')/ + 4 ABV 4- (B^ -h a)l' -{- 2Ca= (A>;^+ B) >/, («^ — 1)^ z= 8 A^ V' -+- 32 C B A' V -^ (4oB^C- P + SO Z^') 1' -h(i6B^CX -h 16BCH — /iCH'-)y