Exemple IX- — Soit l'équation

La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale H = o ^ et la dérivé la valeur U = i.

L intégrale est monodrome et doublement périodique 5 elle

change de signe avec z] elle admet trois zéros simples o, -?

334 LIVRE vr.

oi' ....... W -f- w' r n

— , et trois iiiiinis simples ? -+- (i , — a. La lonction

"^'~ ^ ? dans laquelle —=l^[a), n'admettant plus que

l'infini double ? aura une expression de la forme

AX^ 4- B -i- Cl'. On a donc

(a) a(^i— hn') =zl{Ar- -h B -i- CV).

Il s'agit de déterminer les six constantes A, B, C, A, ^, /r.

Pour a = o, Féquation diiïérentielle se réduit à U'^ — 1= o, ce qui donne les trois solutions IJ = i, U =;% U = — y, en

représentant toujours par j la quantité e .La première valeur correspond à 2 = o 5 en se bornant aux deux premiers termes, on a

U ::= I — ô "% d 'où U =: Z z^ :

en substituant dans l'équation (a), on obtient les deux relations

(2) A,3 B1^\,-Cii^,3^^;,,,

Si nous faisons correspondre à z = - la seconde solution U=y% nous aurons u =p z'^ d'où

(3) Bg — Cg = -f.

La troisième solution U = — 7 convient à z = — Il en résulte

u = — jz' \ en substituant dans l'équation (a), on obtient les deux relations