Exemple X. — Soit l'équation

U^__3U2--2 (1 —iû)^-^^~o.

La variable part de ^ ==: o, la fonction ayant la valeur u =0 et la dérivée la valeur U = 1 .

L'intégrale est une fonction monodrome doublement pério-

■2 TC i

dique. Posons j = a ^ ; quand on remplace z par jz, la fonction u devient ju. Ainsi les deux périodes sont w et /w. La

fonction admet trois zéros simples o, » 1 et trois in-

finis simples a^ja^f a.

Nous intégrerons l'équation différentielle proposée au moyen, non pas de la fonction elliptique ^(z), mais de la fonction doublement périodique du second ordre (p(z) définie par Féquation

avec la condition çp == o pour z = o.

On peut déterminer la constante h^ de manière que celte fonction admette les mêmes périodes w et /w^ puisque

m(ys)=y^(z), elle aura alors les deux zéros o et : et

rinfini double .• Cette fonction se développe en série

de la manière suivante :

«? == ^ -+- -g ^' --f- . • • • La fonction u (i — h^Y) ^^"^ laquelle h^ = -7T-J» n'a que l'infini quintuple — :• La fonction 9 contenant ce même

infini au second degré et cp' au troisième degré, le produit :p^' le contiendra au cinquième degré, et l'on pourra déterminer la constante A, de manière que la fonction

ne contienne plus cet infini qu'au quatrième degré ; puis la constante B, de manière que la fonction

u(i— h' f) — A 'f(f' — Bf

ne le contienne plus qu'au troisième degré ; puis la constante C, de manière que la fonction

p EXEMPLES d'intégration. 33^

Jie le contienne plus qu'au second degré ; puis la conslante D, de manière' que la fonction

w ( I — h^ cp^) — Aip^' — B y- — Cw' — D(j>

ne le contienne plus qu'au premier degré. Cette dernière foncïion, n'ayant qu'un infini, est une constante E. On a donc

« ( I ~ // " <p^) r=: A rprp' -4- B -j-^ 4- C ^' -f- D tp + E.

* Mais la fonrtlon // s'aiinulant pour 2 = o. et devenant/u quand

on remplacer par jz, les constantes B, C, E sont nulles. On

•a donc finalement ■ '\- ,

(a) « ( I — /i'^f) = A ij>'/ -h D a>. , •

Il faut déterminer les quatre constantes A, D, h. k.

Pour u = 6, Téquation diflérentielle se réduit à ? . .

et admet les trois solutions

La première correspond h z = o\, si Ton développe en se bornant aux deux premiers lerines, ou a

ce qui donne les deux conditions