AX^H-D
Nous ferons correspondre la seconde lacine h z = On a
ainsi
et, comme
.•fe)— W:^--)
338 l'ï^'RE v[.
oji obtient laielatiou
La troisième rannc eorrespond a z = — ,-, eldonno la eoii-
dition
Des équations (i), (3), (4), on déduit
D = ^, A = ^-^, /!-2=:4/r^(5 + 3v/3). Substituant dans Téquation (2), il vient
d'où
On eonnait ainsi la fonction intégrale
A<pr/4-DcP U = — ; '- '
278. Exemple XI. — Prenons pour dcrniei exemple l'équation du einquiènie degré
U-^H-{//2 — j)iy'—±.^u^u'-— iY = o, o
dans laquelle la variable part de 2 := o, la fopction ayant la valeur initiale u = o, et la dérivée la valeur U r== i .
Pour u = dzi, l'équation admet cinq racines égales à zéro 5 ces cinq racines forment un groupe circulaire, tel que, si l'on pose u= dzi-hi/', le premier terme du développement de L';,
suivant les puissances croissantes de ii''-> a Texposant -•
Pour u = o, outre la racine {] = 1, l'équation admet cjuatre racines égales à zéro qui forment deux groupes circulaires
EXEMPLES n IWTÉGRATIOJV. SSp
comprenant cb a cun deux racines, et tels, que le premier terme
dn développement de chacun d'eux a pour exposant -•
Les racines multiples différentes de zéro sont données par ^ î équation] •
obtenue en égalant la dérivée à zéro. En substituant cette valeur dans Téquation proposée, on a Téquation (ir — 1)^ = 0, qui n'a pas d'autre solution que zf=zbi. Ainsi Téqualion différentielle n'admet pas de racines multiples différentes de zéro.
La transformée
pour i^ = o, se réduit à V' — \ ' -h ^ = o ; elle admet la racine double V = I et trois racines inégales données par Léquation du troisième degré
La racine double présente seule quelque difficulté 5 si Ton pose
on voit que le premier groupe comprenant un terme en \'- et un terme en i^'-, \' est monodrome par rapport à u.
L'équation différentielle présente donc tous les caractères qui distinguent les intégrales monodromes doublement périodiques. Cette fonction change de signe avec z. Elle admet un zéro simple et deux zéros doubles -h a et — «, et cinq infinis
simples, -> — , 5 -\- o ei — /;. Pour 1 exprimer au moyen
de la fonction elliptique À (^2:, A) on remarque que la fonc-
34o LfVRE M.
lioiJ II l (i — /r )i"'), dans laquelle y =^ ^ {f^) n'admellaiil plus
que les deux inunis quadruples — et , on aura
(a) • ul{i--h'V) = AV^Bl'-{-C-i-{DV-j-E)y.,
Il faut déterminer les huit constantes
Si l'on développe en série pour les petites valeurs de z, on a, en se bornant aux deux premiers termes,
en substituant dans l'équation (a), on obtient les deux relations
(i) Ch-E = o,
(2) B^H-Dg' — E— s^r=i.
Servons-nous maintenant des infinis. La racine double V = ^ de la transformée donne les deux infinis -f- Z> et — Z> ; les trois racines simples de l'équation
donnent les trois infinis -? — 5 • Appelons V^ , V.>, V-,
les trois racines de l'équation (|3) que nous faisons eorres-
pondre respectivement a —, — 1 Î5oit z =z — V- z i nous
aurons pour les deux premiers termes du développement,
EXEMPLES DJKTÉGRATIOIV. 34^
d'où
vn posant, pour abréger,
on en déduit
"~V,z' VJ 3*
Si Ton substitue dans l'équation (a), on obtient les deux relations
(3) Cg~Y.g=-^,
(4) ti (C E) + B,.= - D,- ^ E i^V - (^ + /'=) !;• Faisons maintenant z = h 2', nous aurons
(6) -^/,= +B^„. + Di^g-Eg/ = = (^X-^+-±-JA'|-. Ln posant z = h -2 , on trouvera de même
(8) ^/''+B%-Di^'g + Eg^'=- (^A= + i±i'/,')|:.
Les équations (i) et (3) , (5) et (7) , (2), donnent
