Prenons pour second exemple la fonction

iiz= log( i -h z).

Nous supposons que l'on parte de z = o avec la valeur initiale uz= o. Cette fonction est monodrome tant que l'on reste dans une portion du plan ne comprenant pas le point A qui correspond h z = — i . Mais si l'on tourne autour de ce point, la fonction éprouve à chaque tour un accroissement égal à

[*) Journal (le M'iihcmnliquca de >I. Lioiivillc, loiacX\', page 36ô.

DÉFIINITIOWS. 7

2 7: 2-, elle est donc susceptible de prendre en chaque point du plan une infinité de valeurs.

.6. Lorsqu'une fonction u d'une variable imaginaire z est continue, à un accroissement infiniment petit de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction, et la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable est la dérivée de la fonction. On a donc

dX

du dX-h'dY 'd^ d~z

rfX ^ fdX ^ dY ^\ .

dx-{- —-dy-i- { —- dx -\- —- dy ] i dy . *" \ dv dy I

dx 4- / dy dx -h / dy

dX .dY /dX ,dY\ du dx dx \ dy dy )

dx

ou

dz dy

En général la dérivée dépend de la quantité -7-5 et par conséquent de la direction du déplacement infiniment petit donné au point jz. A chaque direction de déplacement correspond une dérivée particulière, et la fonction a ainsi, pour une même valeur de ^, une infinité de dérivées.

Lorsque la valeur de la dérivée est indépendante de la direction du déplacement, en d'autres termes lorsque la fonction admet une dérivée unique en chaque point, M. Cauchy dit que la fonction est monogène.

Pour qu'une fonction soit monogène, il est nécessaire que le

dv rapport arbitraire — disparaisse de l'expression de la dérivée,

ce qui exige que Ton ait

dX .dY dX dY dx dx dy dy

Les fonctions X et Y étant réelles^, cette équation se décompose