PREMIER

j dx

1 dX

\ dr

■~ Ti^'

en deux

7. Ces conditions analytiques ont une signification géométrique très-remarquable. Considérons les deux surfaces ayant pour ordonnées verticales X et Y, les relations (i) indiquent que si l'on fait tourner d'un angle droit, et de l'axe des x vers Taxe des j^, la surface X autour d'une verticale quelconque, le plan tangent à cette surface au point situé sur cette verticale devient parallèle au plan tangent à la surface Y au point correspondant. En effet, les normales aux deux surfaces X et Y font avec les trois axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont proportionnels respectivement à

dx df "*

dY dY

dx dy

La rotation indiquée amène l'axe des x dans la direction de Taxe des y, et la direction de l'axe des y dans la direction inverse de l'axe des x\ après cette rotation, la normale à la surface X fait donc avec les axes primitifs des angles dont les cosinus sont proportionnels respectivement à

dX

dx'

Otls,

en vertu

des

relations

(i), aux

quantités

dY

dr'

donc elle est parallèle à la normale à la surface Y.

On voit aussi que si par une verticale on mène deux plans rectangulaires quelconques, les tangentes aux sections déterminées par ces deux plan s dans les deux surfaces font des angles égaux avec la vcrlicalc.

DÉFIMÏIOJNS. 9

Remarquons encore que, pour que la foiu lion u soit monogène, aucune des deux fonctions réelles X et Y, qui la composent, ne peut élre arbitraire; car, en vertu des relations (i) , chacune des fonctions doit satisfaire à l'équation aux différences partielles du second ordre

Les deux surfaces X et Y ne sont convexes en aucune de leurs parties; car leurs indicatrices aux points correspondants se projettent sur le plan horizontal suivant des hyperboles équilatères égales, dont chacune a pour axes les asymptotes de l'autre.

8. Les conditions (i) pour qu'une fonction soit monogène sont susceptibles d'une autre interprétation géométrique qui a été remarquée par M. Cauchy. Si l'on représente la fonction u , comme la variable z , par le mouvement d'un point dans le plan horizontal, quand le point z se déplace dans diverses directions, le point u se déplace également suivant des directions diflerentes ; si la fonction est monogène , les courbes décrites par le point u font entre elles les mêmes angles que les courbes correspondantes décrites par le point z. En effet, soient ds et dS deux éléments correspondants décrits par les points z et M, on a

(dsy =:^ (diLy- ^ (dxy

fdX^ , dX ^\^ /dY , ^Y^ \2

ds\

dy J \ dx dy

et si les conditions ( i) sont remplies,

Eu posant, pour abréger,

r/xy

on en déduit

lO LIVRE PREMIER.

Considérons maintenant deux triangles infiniment petits formés par des éléments corespondants, les côtés étant proportionnels, les angles sont égaux.

Pour montrer une application de ce théorème , considérons la fonction

les fonctions réelles

X =r: ces .r , Y = sin x ,

satisfont aux conditions (i), puisque la fonction u est monogène. Supposons que le point z se meuve parallèlement à l'axe des X, et ensuite parallèlement à l'axe des y, le point u décrira deux séries de lignes orthogonales : ces lignes ont pour équations

ce sont des ellipses et des hyperboles homofocales.