CHAPITRE II

PROPRIÉTÉS DES SÉRIES ORDONNÉES SXIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES ET CROISSANTES DE LA VARIABLE.

11. Lemme. — LiorsqiLon multiplie les termes d'une série convergente ayant tous ses termes positifs y respectii^ement par des nombres quelconques^ mais qui n^ augmentent pas à rinfîniy on obtient une nouvelle série con\^ergente.

Soit

une série convergente ayant tous ses termes positifs; si l'on multiplie les termes de cette série par les nombres

qui n'augmentent pas à Fintini , on obtient une nouvelle série convergente

«u l>« -H ('i bi -f- a. b^-i- . . . ,

l'2 LIVRE PREMIER.

En effet, prenons m termes à partir du terme de rang «, la somme

égale évidemment la somme

multipliée par une moyenne entre les quantités

La série proposée étant convergente, la dernière somme a pour limite zéro, si grand que soit m ^ quand on fait augmenter n indéfiniment. D'autre part, les nombres par lesquels on multiplie, et par conséquent leur moyenne, conservent des valeurs finies 5 donc la première somme a aussi pour limite zéro, et la seconde série est convergente.

12. Théorème I. — Etant donnée une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes d'une ^variable imaginaire, si^ pour une valeur de la variable dont le module est R, les modules des termes de la série n augmentent pas à Vinjini, la série sera convergente pour toutes les valeurs de la variable dont le module est plus petit que R.

Soit

la série proposée, dans laquelle z désigne la variable imaginaire, ï/o, z/i,... des coefficients réels ou imaginaires. Appelons «0 5 ^1 V l^s modules des coefficients. Nous supposons que les modules

«0, «iR, «2R ,. • ,

des différents termes de la série, pour une valeur de z dont le module est R, n'augmentent pas à l'infini. Donnons à la variable une valeur dont le module p soit plus petit que R, et considérons la série convergente

FO]^CTl0^s défîmes par des séries. i3

si nous multiplions les termes de cette série respectivement par les nombres

qui conservent des valeurs finies, nous obtiendrons, en vertu du lemme précédent, une nouvelle série convergente

Ainsi, pour toute valeur de z ayant un module plus petit que R, la série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée elle-même (*).

13. Scolie. — Soit R le plus grand module de z , pour lequel les modules des termes de la série n'augmentent pas à rintini; de l'origine comme centre, avec un rayon égal à R, décrivons un cercle. D après le théorème précédent, la série est convergente pour toutes les valeurs de z situées dans l'intérieur de ce cercle, que nous appellerons pour cette raison cercle de cons^ergence. Elle est divergente pour tous les points extérieurs \ car si l'on donne à z une valeur ayant un module plus grand que R, les modules des termes augmentent à l'infini. Sur la circonférence même la série peut être convergente en certains points, infinie ou indéterminée en d'autres.

Il importe de bien comprendre l'existence du cercle de convergence. Que l'on imagine des valeurs croissantes du module pour lesquelles les modules des termes conservent des valeurs finies. Ou ces valeurs croissantes tendent vers une limite finie et déterminée R, ou elles augmentent à l'infini. Dans le premier cas, la limite R est le rayon du cercle de convergence; dans le second cas, la série est convergente dans toute l'étendue du plan.

Remarquons qu'en chacun des points intérieurs au cercle, non-seulement la série proposée est convergente, mais encore la série des modules de ses différents termes.

C*) Ce théorème a été démontré d'une autre manière par M. Canchy dans ses nouveaux Exercices, tome III, page 388.

l4 LIVRE PREMIER.

i^. Appliquons à cpielques exemples.

La série

est convergente dans toute l'étendue du plan. La série

est convergente dans le cercle de rayon i. La série est encore convergente sur la circonférence limite, excepté au point (|ui correspond à l'argument zéro \ en ce point la somme est infinie. Il peut arriver que, le point z s'éloignant du rentre jusqu'à la circonférence, la somme de la série tende vers une valeur finie , et que cependant en ce point extrême la série soit indéterminée. Considérons , par exemple , la série

I + z -I- zM- . . .

convergente dans le cercle de rayon i. Posons

Z=rp/^',

et, laissant l'argument constant, faisons croître le module p jusqu'à l'unité. La somme de la série tend vers une valeur

finie et déterminée —•> excepté quand 0=:zo, et cependant

pour ^ = e^' la série a une somme indéterminée.

Lorque le rayon du cercle de convergence se réduit à zéro, la série n'est convergente pour aucune valeur de la variable, excepté pour z =^o\ il en est ainsi de la série

15. Théorème IL — Une série ordonnée suivanL les puissances entières et croissantes de la variable, est une fonction continue dans V intérieur du cercle de convergence.

Désignons pary^(r;) la somme de la série

M„ -}- tt, z + //. z' + . , . ,

FOIVCTIONS DÉFINIES PAU DES SÉRIES. l5

que nous supposons convergente dans Fintérieurdu cercle R. Appelons <p (z) la somme des n premiers termes de la série, et^ (z) le reste 5 nous aurons

/{z) = <fiz) + ^{z).

De Torigine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle. On peut assigner une valeur de n telle, que, pour cette valeur et pour toutes les valeurs plus grandes, le module du reste tj> [z) so^HjjBtemnient plus petit qu'une quantité très-petite donnée «, dans l'intérieur du cercle R'. Il suffit, pour cela, de prendre n tel, que l'on ait

a" R'" -h rt"+' R'"-^' -h . . . <a :

ce qui est possible, puisque la série

ao-h n,K' -h. . .

est convergente. Pour tout module p plus petit que R% on aura, à plus forte raison ,

a„o^ -h rt"-^' 0"+' 4- . . . <a.

Le module du reste ^{2) étant plus petit que cette somme, sera lui-même moindre que a.

Supposons maintenant que nous donnions à la variable deux valeurs voisines z et z' comprises dans l'intérieur du cercle R', la fonction prendra les deux valeurs

/(z) = t{j)+4(z), /{z') = ,f{z')+-!^{z'), dont la difîérence est

Le polynôme entier 9 (^) étant une fonction continue de la variable z, nous pouvons prendre la différence z' — z assez petite pour que la variation (p (z') — q (z) du polynôme ait un module plus petit que a. Mais les modules des restes ^ (z') et ^j/ [z) sont déjà plus petits que a j donc la variation y(-s') — f{^) aura un module plus petit que ?> oc. Cette variation pourra

l6 LIVRE PllEMIEll.

donc être rendue plus pelile qu'une quantité donnée, si petite qu'elle soit. Ainsi la fonction , définie par la série, varie d'une manière continue dans l'intérieur du cercle de convergence. Il est évident, d'ailleurs, que cette fonction est monodrome dans le même cercle, puisqu'elle n'a qu'une valeur pour chaque valeur de z.

16. Théorème III. — Une série ordonnée suivant les puissances enflbres et croissantes de la variable est une fonction monogène dans V intérieur du cercle de convergence.

Soit la série

/(z)— Mo H- i(,z->r u^z" +. . .

convergente dans le cercle de rayon R. Nous allons démontrer d'abord que la série

obtenue en prenant la dérivée de chacun des termes, est convergente dans le même cercle. De l'origine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle, et donnons à z une valeur dont le module p soit plus petit que R^ Si l'on multiplie les termes de la série convergente

respectivement par les nombres

qui n'augmentent pas à l'infini , on obtient une série convergente

Ainsi, la nouvelle série est convergente dans le même cercle que la première.

La série proposée étant représentée pary(^), nous représenterons par/"' (2) la série obtenue en prenant la dérivée de' chacun des termes de la première, par/'' (^) la série obtenue! en prenant la dérivée de chacun des termes de la seconde, et

FONCTIONS DÉHMES PAR DES SÉRIES. ir

ainsi de suite. Toutes ces séries sont converoentes dans le cercle de convergence R de la série proposée.

^ Nous allons démontrer, raainlenant, que la série y' (z) est la dérivée de la fonctiony^(^).

Si l'on donne à la variable z un accroissement A, on a

Appelons p le module de z , A celui de /^ ; la série

est convergente, tant que p-|-A est plus petit que R, ou A plus petit que R — p. Développons les binômes et ordonnons par rapport aux puissances de A , de manière à disposer les termes dans Tordre suivant :

^ ' i -4-(r/,-h 2rt,p-h3«3p-. . . - + ^ • • »-

Les termes partiels de la série (2) étant tous positifs et avant une somme finie, la série (3), qui se compose des mêmes quantités mises dans un autre ordre, est aussi convergente, et otVre une somme égale. On observe, en eflfet, que la somme des 11 piemiers termes de la série (3) contient les n premiers termes de la série (2) , plus d'autres ternies qui appartiennent aux termes suivants de la série (2), et qui, par conséquent, ont une somme infiniment petite pour les très-grandes valeurs de n 5 ces sommes des n premiers termes des deux séries , ayant une différence infiniment petite, tendent vers la même limite.

En développant de même la série ( i ) , et ordonnant suivant les puissances croissajites de /z , nous formons la série

(4) /(:)+/' {z)'i+/"[z]Jf~ + ...,

qui est aussi convergente, et qui a même somme que la série (i) ^ car la différence entre la sonmie des n premiers termes de la série (4) et la somme de n premiers teimes de la série ( 1) , ayant un module plus petit que la dillerence des deux sommes