LIVRE PllEMlEll

correspondantes dans les séries (2) et (3), a pour limite zéro. On a donc

on en déduit

La série convergente, écrite dans le second membre, est une fonction continue de la variable h. Si h est très-petit, elle diffère infiniment peu àe f [z) ^ et, quand h tend vers zéro, elle a/' [z) pour limite. Donc

Ainsi la série/" (2) admet une dérivée unique/' (z) , quelle que soit la direction du déplacement h. Cette série est donc une fonction monogène.

17. En résumant ce qui précède, on voit qu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable est une fonction continue;, monodrome et monogène, dans l'intérieun du cercle de convergence. En un mot, c'est une fonction synecligue dsLiis le cercle de convergence.

Nous citerons comme exemples les séries

par lesquelles on définit les trois fonctions

fc'% sinz, cosz,

nès-usitées dans l'analyse. Le rayon du cercle de convergence étant infini, ces trois fonctions sont finies, continues, moiiodromes et monogènes, dans toute l'étendue du plan; ce