FONCTIONS DÉFÎMES PAR DES SÉRIES. I
sont des fonctions synectiques dans toute l'étendue du plan. 18> Une double série
ordonnée suivant les puissances entières positives et négatives, et se prolongeant à Finfini des deux côtés, peut être considérée comme la réunion de deux séries ordinaires
Soient R le rayon de convergence de la première série, — ^
celui de la seconde quand on prend - pour variable. La première série est convergente dans le cercle de rayon R, la seconde pour toute la partie du plan extérieure au cercle de rayon R'. Donc, si R est plus grand que R', la double série sera convergente dans la couronne comprise entre les cercles R' et R, et dans cette étendue elle représentera une fonction svneciique.
Par exemple, la double série
II 3 2'
...4---! hi H h--{-...
est convergente dans la couronne comprise entre les circonférences de rayons i et 2.
La double série
...H 1 hiH 1 h...
est convergente dans toute l'étendue du plan , excepté au point -z = o.
CHAPIÏRi: III.
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES DE LA VARIABLE.
19. Soity (2:) une fonction finie, continue, monodrome et monogène, c'est-à-dire une fonction synectîque, dans une certaine portion du plan. Considérons les valeurs de l'intégrale définie
f{^)dz,
quand on va du point z^ au point Z par deux chemins, z^Q.T,
et ^0 DZ [fi^. 4), Irès-rapprocliés l'un de l'autre, et situés
dans la partie du plan dont il s'agit. A chaque point m de la
première courhe faisons correspondre un point n de la seconde
V\{\. f\. courhe , de manière que le point z^
^^ se corresponde à lui-même ainsi
y que le point Z- désignons par la
lettre <-/ un déplaceilient infiniment
petit sur Tune des courbes, et par
la letlre à le déplacement de m
en /?. Si l'on va d'un point m de
la piemière courbe à un point voisin
/îj'.
éprouve un accroissement mai que par df.(z). La fonction, étant monodrome, prendra au point // la même valeur, quand on suivra le chemin z^nni au lieu du chemin z^ Dw^ il en ré- ' suite que la valeur de la fonction au point n dans la seconde intégrale diffère de la valeur de la fonction au point m dans la première intégrale d'une cjuantité égale à la variation de cette fonction correspondant au déplacement ////z, variation marquée par cJ/"(2). D'autre part , la fonction étant monogène , cVst-à-dire admettant la même dérivée pour les deux déplacements iJim' et Jim , on a
DÉNELOPPEMEWT DES FOKCTIO^S EN SÉRIES. '2 1
d'où Ton déduit
(i) ■ of{z).dz = df[z).5z.
Cela posé, calculons la variation de l'intégrale définie, quand on remplace le chemin z^ CZ par le chemin infiniment voisin ^oDZ^On a
^ rV(z)r/3= \ \§f{z).dz-^-f(z).dSz]',
en vertu de la relation (i ) , cette expressiou- devient Z
[df(z).^z^f{z).ddz\
ou, plus simplement,
Les deux points extrêmes étant iixes, Bzq est nulle, ainsi que JZ : donc la variation de Tinlégrale définie est nulle.
20, Considérons maintenant deux li^'ucs quelconques allant d'un point à un autre et comprenant entre elles une portion finie du plan dans laquelle la fonction^ (2) reste finie, continue, monodrome et monogène , il est clair que ces lignes conduiront h. la même valeur de l'intégrale déiinie^ car on peut passer de l'une de ces lignes à l'autre par une série de transformations qui n'altèrent pas la valeur de l'intégrale définie. Il en résulte que, si la fonction y{^) est synectique dans ^''8- 5. la portion du plan comprise dans un(î
courbe fermée, Tintégrale définie, obtenue en parcourant ce contour, est nulle. En efïet , l'intégrale le long de ^0 AZ ifig' 5) est la même que suivant ^0 l^Z ; or, quand le point Z vient en z^ ^ cette dernière intégrale est évidemment nulle.
De même, si la fonction y (2;) est synectique dans la portion du plan comprise entre les deux courbes fermées ABC, A'B'C/ {fig^ 6), les intégrales correspondantes à ces deux contours
Fig. 6.
sont égales. En efïel , le chemin A'B'CA' peut être remplacé par le chemin A' ABC A A-, mais les portions d'intégrale obtenues en parcourant la ligne A'A, d'abord de A' en A, puis, à la fin, en sens contraire, sont évidemment égales et de signes contraires; donc les deux contours ABCA , A'B^C'A', donnent la même intégrale définie.
Ces théorèmes remarquables sont dus à M. Cauchy (* ) ; nous
en avons reproduit la démonstration, afin de bien préciseras
hypothèses sur lesquelles elle repose.
21 . Lorsque la fonction/ (2:) est synec tique dans une certaine portion du plan , l'intégrale
/(-)<fe.
calculée à partir d'un point Zq et prise le long d'une courbe quelconque tracée dans cette partie du plan , est aussi une fonction synectique dans la même étendue. On voit d'abord que la fonction est monodrome, puisque tous les chemins, qui vont du point Zq au point z , conduisent à la même valeur. Il est facile de démontrer qu'elle est aussi monogène. Désignons par F(^) cette fonction nouvelle 5 si nous donnons à la variable z un accroissement h, la fonction éprouve l'accroissement
/iz)dz = [f{z]^e]/r^
da quantité s s'annulant avec h. On en déduit
lim — ' ^-
[*■) Coni/'les icndus de VAcadrniic des Sciences} iH/jf).
DÉVELOPPEMENT DES FOJXCTIOInS EN SÉRIES. '2[\
Ainsi la l'onction F (z) a une dérivée unique/ (^) , quelle que soit la direction du déplacement^ c'est donc une fonction nionogène.
22. Le développement en série n'offre plus aucune difficulté.
Soit /
une fonction
finie, continue, monodrome et monogène, dans Tintéi ieurd'un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon R {fis- 7)'-> je tlis quelle est développable en série ordonnée suivant les puissances de z et convergente dans le cercle
de rayon R. Soit t un point fixe pris à volonté dans l'intérieur
du cercle, la fonction
dans laquelle nous regardons z comme la variable, jouit des mêmes propriétés que la fonction f(z) dans l'intérieur du cercle R -, elle est évidemment finie, continue, monodrome et monogène, comme la fonction f{z). On pourrait craindre cependant qu'elle ne devînt infinie pour la valeur particulière z = t qui annule le dénominateur; pour éviter cet inconvénient, nous supposerons d'abord qu'au point / la dérivée J' [z) de la fonction proposée a une valeur finie 5 si l'on donne à z une valeur voisine de Z, la fonction
différant très-peu de la quantité finie /'(^), aura elle-mênic une valeur finie et sera continue. Ainsi la fonction
^4 LIVRE PllEMlER.
est finie et continue en tous les points situes à rintéiieur du cerele sans exception.
Du point O comme centre, avec un rayon r plus grand que Ot, mais plus petit que R, décrivons un second cercle. Il résulte du théorème précédent que l'intégrale définie
obtenue en parcourant la circonférence /', est nulle 5 on en déduit
f/Mdz ^ r/{z)dz
ies intégrales étant prises le long de la même circonférence 5 et si l'on fait sortir du signe / le facteur constant/(f),
La fonction -3— ne devenant infinie que pour la valeur z = f , on peut dans l'évaluation de l'intégrale
r dz
remplacer la circonférence /• par une circonférence décrite du point f comme centre avec un rayon infiniment petit p. Posons
le rayon p étant constant et Fangle 6 seul variable, on a
dzz= irje^'dO,
cFoù
dz
" idO i
l'intégrale deviejit
d^ ^ziTvi.
On a donc
^i-^-ùI'A'-
DÉVELOPPEMEJNT DES FONCTIOIVS E]\ SÉUIES. '2Ô
cette dernière intégrale étant prise sur la circonférence /•, et en tournant de Oj: vers Oj. Mais quand le point z parcourt la circonférence r, le module de z reste constamment plus grand que le module de t'^ on peut donc développer la fraction
en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de f , ce qui donne
donc
= J[J/Li),. + .|/[i^,. + .J.qi)rf. + ...]
Chacune des intégrales définies qui entrent dans le second membre, étant prise le long d'un contour fini r, a une valeur finie et déterminée, et la fonctiony(f) se trouve ainsi développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de l. En appelant t/o, "i, u^^. . . les coefficients de la série, on a
(i) /(?) = WoH-'^i^4-W:.^'H-
Si l'on pose
z^re^'\
un coefficient quelconque est donné par la fornmlc
dans laquelle /• désigne un rayon arbitraire plus petit que le rayon R du cercle de convergence. ♦
23. Le point t est un point quelconque intérieur au cercle de rayon R ; ainsi la série représente la fonction proposée /'(^) en tous les points du cercle, excepté toutefois les points où la dérivéey' (^) serait infinie ou discontinue : mais celte lestric-
20 LIVRE PllEMIEri.
tioii est inutilt.'. En elïet, nous avons démontré (n" 15) qu'une série, ordonnée comme la série (i), est une fonction continue de la variable / , dans le cercle de convergence, sans exception 5 la fonction /(?) et la série, étant continues dans toute l'étendue du cerclc;, et égales en tous les points, excepté en certains points particuliers, ne peuvent différer même en ces points. Donc le développement s'applique à tous les points du cercle sans exception.
La fonction /(^) et la série étant égales, leurs dérivées sont égales, et l'on a
pour tous les points du cercle de convergence (n" 16).
On voit pa[ là que la dérivée ^ [t) de la fonction proposée reste finie et continue dans le cercle, et que, par conséquent, il est impossible qu'elle devienne infinie ou discontinue en aucun de ses points. Ainsi la circonstance que nous avons écartée dans la démonstration ne peut pas se présenter.
De ce qui précède résulte le beau théorème de M. Cauchy, que nous énoncerons de la manière suivante :
24. Théorème. — Pour qu une fonction soit, déi^eloppahle en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de la variable^ et convergente dans un cercle décrit de l'origine comme centre, il est Jiécessaire et il sujfit que la fonction soit synectique, c'est-à-dire soit finie ^ continue^ monodrome et mono gène ^ dans ce même cercle.
Ces conditions sont nécessaires, car nous avons démontré (n" 17) cpi'une série, ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable , est une fonction synectique dans le cercle de convergence. Elles sont suffisantes*, car nous venons de démontrer que, lorsqu'une fonction est synectique dans un cercle de rayon R, elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable et convergente dans le même cercle. 11 est d'ailleurs impossible de les réduire à un moindre nombre^ les explications que nous avons don-
