DEVELOPPEMENT DES FONCÏIOIVS EN SERIES. IJ

nées au commencement de ce Mémoire font voir, en eliét, qu'une fonction peut tViie finie et continue sans être monodrome, monodrome sans être monogène, ou nionogène sans être monodrome.

i25. Une fois établie la possibilité du développement, il est facile de déterminer les coefficients. Reprenons, en eiïet, la série (i) , dans laquelle nous remplaçons t par z^

(2) f[z)z=Uo 4- w, 2 -t- «2 z- H- W3 z^ -h . . . .

La fonction et la série étant égales dans le cercle R , leurs dérivées des différents ordres sont égales dans le même cercle. On a donc

f [z) =. «, -1- 2 Wj z = 3 «3 s' -h . . . , /'' (z) r= J . 2 Wî -h 2 . 3 /«3 Z -^- . . . , f"'(z)= I.2.3«, + 2.3.4 ^/,Z-f-...,

Ces diverses séries sont toutes convergentes dans le cercle R et continues 5 si l'on y fait z = o, on a

et l'on obtient ainsi la série de Maclaurîn,

Nous avons exprimé les coefficients de la série de deux manières , par des intégrales définies et au moyen des dérivées de la fonction, La comparaison des deux développements donne la formule

o r* l'Tz

(4) f^{p)= ''^^nr^~j /{reC^e-neiclfi.,

La série de Taylor s'en déduit aisément :

Si la fonction f [z) est sjnec tique dans un cercle décrit autour du point z^ comme centre^ elle se développe en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de z — Zq

et corwergente dans le même cercle^ et Ton a

(5) /(z) =/(..) +/'(z.)fjzl« +f''i^,^)[lr:hl+,, .

En remplaçant z^ par ^ et z — Zq par h , on obtient la série de Taylor sons sa forme habituelle

(6) /(2 + A)=/(,)+/'(,)^+/"(^)il+...,

et la formule (4) devient

/"(^)= '?'!,:" \''f{^^ + rc0i)e-'>6id9.

r étant un rayon arbitraire plus petit que le rayon du cercle de convergence relatif au point z.

Application à quelques exemples, 26. Soit une fraction rationnelle

(Marquons les ])oints A, B, C, . . . qui annulent le dénominateur, et qui, par conséquent, rendent la fonction infinie. Soit A celui de ces points qui est le plus rapproché de l'origine; du point O comme centre, avec un rayon égal à OA, décrivons un cercle ; la fraction rationnelle sera développable , dans ce cercle , en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de ^. Dès que l'on sort du cercle, la série est divergente, car la fonction devient infinie au point A.

De même, si d'un point ^o? pris arbitrairement dans le plan , avec un rayon égal à la distance* de ce point à celui des points A , B , C , . . . qui en est le plus rapproché , on décrit un cercle , la fonction sera développable , dans ce cercle, en une sciie convergente, ordonnée suivant les puissances cioissanles de>