La fonction
csïnz
étant finie, continue, monodrome et nionogène, dans toute lélendnedu pian, estdéveloppable en une série ordonnée suivant les puissances de z ^ et convergente dans toute l'étendue du plan.
La fonction
est discontinue ou indéterminée pour z = i -^ car elle devient infinie, ou nulle, ou indéterminée au point ^ = i , suivant le clremin qu'on suit pour y arriver: elle est donc développable dans le cercle de rayon i. Il en est de même de la fonction
qui devient indéterniinée au point z = i . 28. Soit la fonction irratiîmnelle
comptée à partir de :; = o , avec la valeur initiale -+- i. Nous avons vu (n*^ 3) que cette fonction cesse d'être monodrome quand on tourne autour du poÎJit z =z — i • elle sera donc développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z.^ dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité. Il en sera de même d'une fonction implicite u définie par une équation algébrique entre it et z et comptée à partir du point z avec la valeur initiale//o (n" 4). Si du point Zq comme centre, avec un rayon égal à la dislance au point le plus proche pour lequel l'équation a des racines égales et la fonction cesse d'être monodrome, on décrit un cercle, la fonction sera développable dans ce cercle en une série convergente ordonnée suivant les puissances ci(jissanles de z — Zq.
3o LIVRE PREMIEll.
La fonction transcendante
log(i -f-z),
comptée à partir de 2 = o, avec la valeur initiale zéro ( n'* 5) devient infinie , et cesse d'être monodrome , au point ^ = — i ; elle sera donc développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z , dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité. La fonction
M = 07^ + J^ -f- 2 XJl ,
n'étant pas monogène, n'est pas développable. 29. Considérons enfin la fonction
u = sin z + \ {x} + y- — i ) ,
dans laquelle la lettre \ représente la valeur de l'intégrale définie
2, / ^ sin/
os dt^
obtenue en donnant \\ i des valeurs réelles de o à 00 . On sait que l'intégrale définie
2 r^ sin;
- I cas gtdt
^ Jq ^
est constamment égale à l'unité quand le nombre g est moindre que I , et qu'elle est constamment nulle quand le nombre g est plus grand que f . De l'origine comme centre , avec un rayon égal à 1 unité, décrivons un cercle; le facteur X sera nul tant que le point z restera dans le cercle, et il deviendra égal à l'unité pour tous les points extérieurs. La fonction est finie, continue et monodrome, dans toute l'étendue du plan 5 elle est monogène dans le cercle de rayon i , puisque la seconde partie se réduit à zéro dans Tintérieur du cercle; mais, hors du cercle, elle n'est plus monogèiie, parce que la seconde partie x^ p. ^2 — j ji\.5i paj^ monogène. On en conclut quela fonction
DÉVELOPPEMEM DES FOiNCTIOiNS EIS SÉRIES. 3l
est (léveloppable en série convergente dans le cercle de rayon égal à l'unité.
Les exemples précédents montrent que la limite de ( onvcrgence delà série est déterminée, tantôt parce que la fonction devient infinie ou discontinue, tantôt parce qu'elle cesse d'être monodrome, tantôt parce qu'elle cesse d'être monogène.
30. Théorème II. — Lorsquiine fonction est sjnectique dans la portion du plan comprise entre deux cercles ayant pour centre l'origine des coordonnées, elle est déueloppable e?i une double série ordonnée suiuafit les puissances entières, positives et négatives, de la variable, et convergente dans cette portion du plan.
Nous supposons la fonction / [z) synectique dans la portion Fig. 8. du plan comprise entre
les deux circonférences
R et R' décrites de l'origine comme centre, R étant plus grand que R'.
Soit t un point quelconque de cette couronne [fig. 8) ^ du point O comme centre décrivons deux cercles , l'un avec un rayon /' plus petit que R, mais plus grand que O/, l'autre avec un rayon /-^plus petit que O/, mais plus grand que R'. L'intégrale
dz ^
obtenue en parcourant chacune des deux circonférences dans le même sens , a la même valeur. En distinguant par les indices r et r ces deux intégrales définies , on a
0 2 LIVr.E PREMIER.
OU
=: o^ car la circonférence r' ne comprend pas Je
point z=z t qui lend infinie la fonction placée sous le signe f. On sait d'ailleurs que
r ciz
Il en résulte
Dans la première intégrale, le module de z étant plus grand
que celui de f, la quantité peut être développée en une
série convergente suivant les puissances positives croissantes
de -• Dans la seconde, au conlraire, le module de z étant pins
petit que celui de /, la quantité se développera en une sé-
ne convergente suivant les puissances croissantes de -• On aura donc
f{z)dz
\ - 4-- r- { f[z) dz + t--^ f f(z) zdz .
Les intégrales définies, qui servent de coefficients à la double série, onl des valeurs finies et déterminées. On peut les prendre le long d'une circonférence arbitraire comprise entre les circonférences R et R', et en tournant de droite à gauche. Si Ton pose z = re ', et si l'on remplace t par z, on a la double série
dai
DÉVELOPKF.MEWT
EN SÉR
