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Celte extension du théorème de M. Cauchy a été indiquée par le capitaine Laurent.

31 . Il est facile d'étendre les théorèmes précédents aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Soit ^ (a:, j . ^) une fonction de trois variables imaginaires x, Jy^-, finie, continue , monodrome et monogène , quand chacune des variables reste comprise dans une certaine portion du plan. Donnons à x^y, z des accroissements ^, A, /', la fonction f [x -\- h ^ j -{- k ^ z -j- /) est finie , continue , monodrome et monogène, tant que les variables h^ k, l restent comprises respectivement dans des cercles de rayons R , R', R'^ décrits des points x ^ y ^ z comme centres.

Posons

u = X -h t/l , V zzz j' -\- tk , a' =z z -\- tl ,

t désignant une variable dont le module est plus petit que l'unité. La fonction/(M, t^, w) est une fonction synectiquede r, quand la variable t se meut dans le cercle de rayon i, décrit de l'origine comme centre; elle est donc développable , dans cette étendue, en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de t, et Ton a, en désignant par F(/) cette fonction,

F(f)=:F{o)4-F (o;--hF"(o)— -t-

Mais on a symboliquement

F"(0 = (/*D„/4-/-D.,/-h/D,./)% d'où

F" (o) = (^D,/H- XD,. /+ /D3 /)".

Si l'on remplace F" (o) par sa valeur et que 1 on fasse t = i ,

^4 LIVRE PnEMfER.

on oLticjit la série

(9) [ ^ y^ (AD,/+/^D^/H-/D./)"

ordonnée suivant les puissances croissantes de /i, /f, /, et convergente dans les cercles de rayons R, R', R^^

Les coefficients s'expriment aisément au moyen d'intégrales définies. En effet, si dans la formule (y)

on fail

on a

I 1 ^b ( JC -h 7-^^' ,y -\- / eO'i) e— nOi - n' ff i dQ dO'

Celle-ci donne pareillement

^11 f [x^rcC^, x-{-r'eO'i,z-^r"rO"i)e-irei-n'rj'i-n"fj"i(l(ïd^'(

(ÎO)'