PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS

32. Théorème I. — Lorsqu'une fonction est synectique dans une certaine portion du plan, toutes ses dérivées sont aussi des fonctions synectiques dans la même étendue.

Soit Zq un point quelconque pris danspelte portion du plan, nous avons démontré que la fonction proposée /^(z) se déve-

PROPRIÉTLS GÉINÉUALES DES FOINCTIONS. 35

loppe en une série convergente

f{z) — u„ H- w, (z — Zo) -\- ih{z— Zo '-^ H- . . .

dans un cercle décrit du point Zq comme centre avec un rayon convenable. On en déduit

/' ( Z ) =: «, -h 2 M, (Z — 2o) -+- 3 «3 (z — Zo)' +

Cette série étant convergente dans le même cercle, la foncûonJ^[z) est synectiquc dans ce cercle; et, comme le point ^0 peut être pris arbitrairement dans la portion du plan pour laquelle la fonction /'(z) est synectique, la fonction f (z) jouit de la même propriété dans toute cette étendue.

Le théorème étant démontré pour la première dérivée, s'éterd évidemment à toutes les autres.

33. Corollaire I. — Une fonction sjnectique ne peut être constante dans une portion finie du plan, si petite qu elle soit.

Soit Zq un point situé dans cette portion du plan-, la fonction étant constante dans le voisinage du point z^^ toutes ses dérivées sont nulles en ce point , et la série de Tavlor se réduit à

Il en résulte que la fonction est constante dans le cercle de convergence décrit du point z^ comme centre. Que Ton répète le même raisonnement pour un autre point du cercle, et l'on démontrera ainsi de proche en proche que la fonction reste constante dans toute l'étendue du plan pour laquelle la fonction est synectique.

Il en serait de même si la fonction était constante le long d'une ligne, si petite qu'elle soit.

Corollaire II. — Une fonction synectique ne peut avoir toutes ses dérivées nulles en un point.

Si cela avait lieu , la fonction serait une constante.

34. Théorème II. — Lorsqu'une fonctioîi synectique dans tnc certaine ponion du plan s'annule pour une ^valeur z==a

comprise dans cette portion du plan, elle est divisible par (z — a)'\ n désignant un nombre entier fini.

En développant , d'après la série de Taylor , on a en effet

d'où Ton déduit

Le quotient 5 étant développé en série convergente dans

an cercle décrit du point a comme centre , est une fonction synectique dans le voisinage du point /2, et par conséquent dans $a même étendue du plan que la fonction proposée. Si l'on représente par (p (z) cette fonction, on aura

Si la quantité a n'annule pas f (z), on dit que a est racine simple de l'équation /" (s) — o. Mais si a annule la fonchon/(z) et ses ( Ai — i) premières dérivées, on a

et le quotient

est une fonction synectique dans la même étendue que la fonction,/(-z). Si l'on représente ce quotient par ^ (-z), on a

Dans ce cas, on dit que la racine a est du degré n de multiplicité.

Le nombre des dérivées qui s'annulent pour z — a étant nécessairement fini, toute racine est d'un degré fini et entier de multiplicité.

35. Scolie. — Dans une portion finie du plan, Féqua- \\onf{z) = o n'admet qu'un nombre fini de racines 5 car, sii

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS. Sj

elle en admettait une infinité, les points qni correspondent aux racines seraient infiniment rapprochés les uns des autres et la fonction nulle en ces points infiniment rapprochés, ce qui est impossible.

Si l'on appelle «, ^, c,..., / les racines, la fonction y" (z) s'écrira

(p (z) étant une fonction synectique qui ne s'aunule pas dans la portion du plan considérée.

36. Théorème IlL — Quand une fonction f (z), nio/wdrome et moJiogène, déifient infinie pour z = a, quel que soit le chemin suivi pour arriver à ce point^ on peut la mettre sous la forme

[z — af [z — «)"-' z — a

la fonction ip (^) étant mono dro me et monogène et ne devenant pas infinie pour z = a.

En effet, dans ce cas, la fonction -jy~\ devenant nulle pour

z= a^ ai restant finie et continue, on a

d'où Ton dédviit

La valeur a est un infini du degré fini et entier n de multiplicité.

Si l'on développe la fonction ^ (2) en série suivant les puissances croissantes de (z — a), la fonction proposée s'écrit

(z — «)" (z — rt)" ' z — a

^ {z) désignant une fonction monodromc et monogène qui ne devient plus infinie pour z =: a.

Pour que la fonction jouisse de ces propriétés, il est nécessaire qu'elle devienne infinie pour ^ = «, quel que soit le chemin suivi pour arriver en ce point. Ceci n'a pas lieu pour la

fonction e\ qui, lorsque z ==: o, devient nulle, ou infinie, ou indéterminée, suivant le chemin suivi.

37. Théorème IV. — Une fonction^ monodrome et tiionogène dans toute l'étendue du plan, devient nécessairement infinie pour une ojaleur finie ou infinie de la variable.

Appelons M le maximum du module de la fonction f (z) dans le cercle de rayon r décrit autour de Torigine 5 si dans la formule (n«!25)

nous remplaçons chaque élément de l'intégrale définie piar son module, ou parmi module plus grand Mr/0, il est évident que

I M d Q ou que 2 Tï M, et nous aurons

nio() /" ( o ) <^ I . 2 . 3 . . . «

Supposons maintenant que la fonction^ (z) ne devienne infinie pour aucune valeur finie ou infinie de z, c'est-à-dire que le module de la fonction reste moindre qu'une quantité finie M dans toute l'étendue du plan. Dans ce cas, on pourrait prendre le rayon /• infiniment grand, et l'on aurait, en vertu de la formule précédente,

La fonction, ayant toutes ses dérivées nulles, serait une constante. Si donc la fonction n'est pas une constante, elle doit devenir infinie, soit pour une valeur finie, soit pour une valeur infinie, de la variable z.

38. Corollaire I. — Une fonction^ monodrome et monogène dans toute Vétendue du plan, devient nécessairement nulle pour une valeur finie ou infinie de la variable.

PIIOPIUÉÏÉS GÉI\Él\ALES DES FOINCTIOAS. 3^

Car si la fonction f {z) ne devenait pas nulle, la fonc

lion ne deviendrait pas infinie \ ce qui est impossible.

Il peut arriver que la même valeur de z rende une fonction à

la fois nulle et infinie. Ainsi la fonction e^ devient infinie quand le point z vient à l'origine par un chemin situé à drdite de l'axe des y^ et nulle quand le point z vient à Torigine par un chemin situé à gauche de l'axe des y. De même la fonction e* devient nulle ou infinie pour des valeurs infinies de z.

CoROLLAinE U. — Une fonction^ monodrome et mono gène dans toute Vétendiie du plan, acquiert toutes les valeurs possibles.

La fonction f {z) acquiert nécessairement la valeur A , car la fonction f[z) — A prend la valeur zéro.

39. Théorème V. — Deux fonctions monodromes et uionogèncs^ qui admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis ^ chacun au même degré de multiplicité, sont égales^ à un facteur constant près.

Soienty(z) et F (2) les deux fonctions proposées. Le quotient

le ces deux fonctions, ne devenant ni nul, ni infini, est une constante. En désignant par A cette constante, on a

Scolie. — 11 résulte de là qu'une fonction est complètement définie, à un facteur cpnstant près, quand on connaît ses zéros et ses infinis. C'est par le nombre et la distribution des zéros et des infinis dans le plan que les fonctions se distinguent les unes des autres.

40. Théorème \T. — Toute fonction monodrome et monogène, qui ne de^'ient infinie que pour z := zo , sans devenir indéterminée, est une fonction entière.

Soit uzz:zf{^z) la fonction proposée. Posons z = -•- la fonc-

lion s'écrit ii=fl~\'^ nous rappellerons (p (/). Cette fonction 9 (t) devient infinie pour f = o, sans devenir indéterminée. En vertu du théorème III, on peut la mettre sous la forme

La fonction ^{t)^ ne devenant infinie pour aucune valeur de t^ est une constante A„. On a donc

, > Afl A, An i

et, par suite,

Ainsi la fonction /(z) est une fonction entière du Ai'^'"Megré.

41 . Théorème VII. — To aie fonction monodrome et monogène, qui n admet quun nombre limité d* infinis, est une fraclion rationnelle.

Considérons d'abord le cas où la fonction^ ( z) admet 7i infinis simples a, A, c, . . . , /, et prend une valeur finie et déterminée P pour z-= ao .

La fonction, devenant infinie pour ^ r=a, s'écrira sous la forme

la fonction a^ [z) ne devenant plus infinie pour z=^a. La fonction çp(2), devenant infinie pour z=^h^ s'écrira sous la forme

En continuant de celte manière , on arrivera enfin à une fonction qui n'aura plus d'infini, et qui, par conséquent, sera une constante P. On aura donc

La démons! rat ion rsl la même quand il y a des infinis mul

PROPIIIÉÏÉS GÉJNÉHALES DES FONCTIOJMS. 4I

liples. Soit p le degré de rinfiiii a^ q celui de Z>, etc. La fonclioii proposée pourra être mise sous la forme

Bu B, . , By

[z — by {z — by^-^

La fonction 9 [z)^ ne devenant plus infinie que pour 2 = 00 , est une fonction entière.

En réduisant ces fractions simples au même dénominateur, on voit que la fonction u est une fraction rationnelle dont le terme le plus élevé est du degré /z, si n désigne le nombre total des infinis. A chaque valeur de u correspondent n valeurs de Zj c'est-à-dire que la fonction prend la même valeur en n points du plan. Cette fonction admet aussi n zéros. Ainsi le nombre des zéros est le même que celui des infinis.

42. Théorème VIIL — Toute fonction monogène, qui admet m valeurs pour chaque valeur de z, devient nécessairement infinie.

Désignons par Uq. Wj, «2,..., i/,„i les m valeurs que prend la fonction u pour une même valeur de z. Considérons une fonction symétrique de ces m quantités, par exemple leur somme

Quand la variable z décrit un contour fermé, ces valeurs de la fonction se permutent les unes dans les autres suivant une certaine loi; mais la fonction symétrique ne change pas. Cette fonction symétrique est donc monodrome. Puisqu'elle doit devenir infinie, il faut que l'un des termes de la somme devienne infini.

i3. Théorème IX. — Toute fonction monogène, qui a m valeurs pour chaque valeur de z et qui n admet qu un nomhrc limité d'infinis, est racine d'une équation algébrique.

Représentons toujours par i/o, ''i, «2 v? "m i les m valeurs (le «, et considérons les fonctions symétriques

'io~\- ih + ^2 H-. . . + u„

ik savoir, la somme des m valeurs, la somme des produits deux à deux, la somme des produits trois à trois, etc., enfin le produit des m valeurs. Chacune de ces fonctions symétriques , étant monodrome et n'ayant qu'un nombre limité d'infinis^ est une fraction rationnelle en z. La fonction u satisfait donc à une équation algébrique du degré m, dont les coefficients sont des fractions rationnelles en z.

Cette équation est irréductible; car si la fonction u satisfaisait à une équation de degré moindre, elle n'aurait pas m valeurs.

Corollaire. — Une fonction définie par une équation algébrique irréductible du m''""'' degré prend m valeurs pour chaque ^valeur de la variable.

On part de la valeur z z=i Zq avec une certaine valeur initiale u=zU(^.^ et l'on suit, pour aller à un point quelconque du plan, soit le chemin rectiligne, soit des lignes comprenant un ou plusieurs points pour lesquels Féquation a des racines égales. Ces chemins donneront ni valeurs différentes de la fonction; car, si la fonction n'en prenait qu'un nombre moindre, elle satisferait à une équation de degré inférieur.

MÉTTODE GÉNÉRALE POUR L ÉTLDE DES FOISCTIONS DÉFÎMES PAR LES ÉQUATIOJSS DIFFÉRENTIELLES.

44. Les cas où l'on peut intégrer une équation différentielle $ont extrêmement rares, et doivent être regardés comme des exceptions. Mais on peut considérer une équation différentielle comme définissant une fonction d'après son mode de génération, et se proposer d'étudier les propriétés de cette fonction sur féquation différentielle elle-même.

Soit

du ^/. s

une équation différentielle du premier ordre j u sera une fonction de z, définie par la condition de satisfaire à Téquation différentielle et d'admettre une valeur initiale donnée Uq pour z = Zq. m. Caucliy a démontré que si le coefficient différentiel/"(?/, z) est une fonction synectique pour les valeurs de u et de z voisines de Uq et de ^o, la fonction intégrale u est elle-même synectique pour les valeurs de z voisines de z^. IN'ous donnons d'abord une démonstration plus simple de ce théorème de l'illustre géomètre , qui est notre point de départ.

io. Leiiune I. — Soit/"(x) une fonction synectique de la variable imaginaire x, dans le cercle décrit du point Xq comme

centre avec un rayon r, et sur la circonférence elle-même. Appelons M le maximum du module de la fonction /"(j^) dans le cercle de rayon r. Si, dans la formule (n° 25)

on remplace chaque élément de l'intégrale définie par la quantité ^IdQ plus grande que son module, on augmente évidemment le module de l'intégrale définie qui se réduit alors à

2 7rM, et Ton a

(i) mod/"(.ro) <^ 1 .2. . . « — •

46. Lemme II, — Soit /(x, /, z) une fonction synectique par rapport à chacune des variables imaginaires x^ j^ -z, quand ces variables restent comprises respectivement dans des cercles de rayons r, i\ i^" décrits des points Xo , j^o , Zq comme centres , et sur les circonférences elles-mêmes. Appelons de même M le maximum du module de la fonction dans l'étendue des valeurs considérées. Si, dans la formule f 11^31)

{inY X f f f ' /(■r,-^reôi,x,-i-/eO'i, Zo-hr"eO" i)e-("6-^n' û'-+^n" 0")i dO clQ'dO'

on remplace chaque élément de l'intégrale mulliple par une quantité MJ0^/0'J0'' plus grande que son module, on augmente le module de l'intégrale, et l'on a

<Cii.i ..n.\.i ..n'.i.i...n , , „- \

17. LenwwIII. — Il est facile décomposer une fonclion dont les dérivées partielles nient on .rç, ro, -^'^o desvalcurs égales

FONCTIONS DÉl INiES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRETIELLES. 45

aux limites assignées pour les modules des dérivées correspondantes de la fonction proposée/^ (x, y^ z). Considérons en effet la fonction

J— Jo

qui se développe en série convergente, tant que les différences X — Xo, 7 — /o, ^- — Zq ont des modules respectivement moindres que /% i\ i". Le ternie général de la série est de la forme

{x-x,f (j-roK {z-z,Y"

Si l'on prend une dérivée quelconque D""^.""^" de la fonction

^ (x^Y^ z) et que l'on y fasse x = x^^y = ro-> z = z^^le ternie écrit plus haut donne

et les résultats fournis par les autres termes s'évanouissent. On a donc

Ainsi, en Xo, ja^ -Zq? les dérivées de la fonction (p sont des limites supérieures des modules des dérivées de la fonction f. Les principes, que nous venons de rappeler, sont dus à M. Caucliy. Nous allons, à l'aide de ces principes, démontrer d'une manière très-simple l'existence des fonctions intégrales.