Considérons d'abord une équation différentielle

la variable z part du point 2: =r ^q, la fonction 11 ayant une certaine valeur initiale u = Uq. Nous supposons que le coefficient différentiel f(z^ u) est une fonction syncctique des

deux variables z et u dans le voisinage des valeurs ^o et Uq, Pour simplifier, représentons les variables par Zq-\-z et u^ -t- w-, la variable z partira alors de z=o^ la fonction u ayant la valeur initiale u = o. Le coefficient difrérentiel est synectique pour toutes les valeurs de z et de u situées dans des cercles décrits des points z^ et u^^ pris pour origine avec des rayons égaux à p et à /' et sur les circonférences ellesmêmes. Psous appellerons M le maximum du module de la fonction y" dans cette étendue.

Si l'équation diirérentielle admet une intégrale synectique, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations

du dz

d'u dz^

dz

dfdu du dz

d' u dz'

d'f du dz du dz

d^ffdu\' (l^d^U Ju? \1z) '^~dil~d^'

que l'on déduit de la première par la dilférenliation.

Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs de la fonction y^ et de ses dérivées partielles pour z =z o et 11= o par leurs modules ; la première donnera le module de

( -^ j ; en portant cette valeur dans la seconde, on aura une

limite supérieure du module de ( -— I : enportant ces valeurs

dans la troisième, on aura une limite supérieure du module de

fd'u\ . . ,

— — : et ainsi de suite.

\dz' Jo

En vertu du lemmc 111, les dérivées partielles de la fonction /(r, il) ont, pour z = o et u = o, des valeurs dont les modules' sont moindres que les dérivées correspondantes de la fonction

■fi . ^ .. ,