FONCTIONS DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Considérons réqualioii dilléientielle

di> , , M

r/^ (' r/cp dtùdv

dz' "~ ^/z ' r/pr/z'

<^3^ ~~ dz' ~^ ^^ r/3 rA' dz ~^ ^/(-' V«^z y

dans laquelle nous donnons à la fonction i^ la valeur initiale i^ =r o pour z = o. Si cette nouvelle équation admet une intégrale synectique, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations

analogues aux équations (5). Quand on y fait z=: o et p» = o, la fonction (p et ses dérivées partielles prenant toutes des valeurs positives, les seconds membres sont des sommes de termes

positifs, et l'on en déduit successivement pour ( ;r ) ' ( -ri ) '

( T~3 ) ' ■ • •' ^^^ valeurs positives. Ainsi la fonction u a pour

^ = o toutes ses dérivées réelles et positives.

Comparons maintenant les équations (5) et (^). On voit

d abord que le module de ( — ) est moindre que ( y ) • Les

dz J 0 \ ^^^ / '

modules des termes de la seconde équation étant moindres que

les termes de l'équation correspondante, le module de ( -— |

est moindre que ( -— j j et ainsi de suite. On conclut de là que,

si les fonctions u et i^ existent, les dérivées de la première ont, pour z = o, des valeurs dont les modules sont respectivement moindres que les dérivées de la seconde.

Mais la fonction ^' existe certainement ^ car l'équation dif-

férentiellc (6) peut elre iiilégrée facilement, et donne poui équation intégrale

(8) V =r-MpL

t^ s'évanouissant avec z. Cette équation définit une fonction implicite ^' s'évanouissant avec z, et restant synectique pour toutes les valeurs de la variable z inférieures ou égales à un certain module R que l'on peut assigner. En effet, la fonction p* reste monodrome jusqu'au point où les deux racines de l'équation (8) deviennent égales entre elles j ceci a

lieu lorsque la dérivée i du premier membre par rapport

à P' devient nulle, c'est-à-dire lorsque \^ =. r -^ la valeur correspondante R de 2, valeur réelle, positive et moindre que y, est donnée par la formule

Si l'on appelle A le maximum du module de la fonctions» dans le cercle de rayon R, on aura, d'après le lemmel,

On aura donc, à plus forte raison,

(d'^ii\ A

mod I — -— <! 1 .2. . .w. -— .

Il en résulte que la série

, , / du \ z ( d' Il \ z^

ordonnée suivant les puissances croissantes de z^ est convergente pour toutes les valeurs de z ayant leurs modules inférieurs à R. Car, le terme général de la série ayant un module moindre

que

/inod z\ "

/inod z\'

K().\CTIO]NS UÉFIJN'IES PAR DES ÉQIJATIOJVS UTI FÉREiNTIELLES. 4q

on voit que si le module de z est inférieur à R, la série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée. Cette série convergente définit une fonction syneclique dans le cercle de rayon R.

11 reste à faire voir que la fonction //, définie par la série, satisfait bien à Téquation diirérentielle proposée (4). Si dans cette équation on remplace u par sa valeur, on a, d'une part,

d'autre part,

en appelant/', y,. M ^^s dérivées totales de la fonction /calculées au moyen des équations

i c/z du dz

r ~ dz' dz du dz diû \dz] "^ du dz' '

^ 1 ? I —r-: \ •>•'"> par leurs valeurs déduites des équations (5).

On fera dans ces équations z r=: o, î/ = o, et l'on remplacera ' du \ / d' u \ TTzjj \~dz^J

Mais on voit que les seconds membres des équations (5) et (lo) sont alors identiquement les mêmes ^ on a donc

■^' = {17'): ^'=={-dj):--'

et, par suite, Téquation différentielle est vérifiée.

49. La même méthode s'applique aux équations différentielles simultanées. Soient m équations simultanées

(il) — = /{z,U,u',. . .), — :=/(z, M, «,...),... ,

dans lesquelles nous supposerons que la variable z parte de z = o, les fonctions u^ u\... ayant les valeuis initiales zéro.

Les coefficients difierentiels sont des fonctions synectiques pa rapport aux variables z^ii, u\...^ tant que les modules de ces variables restent inférieurs ou égaux à o, r, /',.•.• Appelons M, Ml,..., les maxima des modules des fonctions /, /,,... dans cette étendue, et posons

En vertu du lemnie III, les dérivées partielles des fonctions f,J\,... ont, pour ^ = o, f/= o,..., des valeurs dont les modules sont respectivement moindres que les dérivées correspondantes des fonctions M çp, Mj (p, — Si l'on compare les équations différentielles pro})osées aux équations difïérentielles simultanées,

— -~ M f (z, (',(',.. .), —= M, (p^z, <',<',...),... , on veira , cojnme précédemment , que les dérivées ( — ) ^

(î-);---' (î?); (??■);• •' ^^'^''"'"'' '^'' premières par un calcul de proche en proche, ont des modules respectivement moindres que les cjuantilés réelles et positives ( — ) ?

\ "^ ' " * ' \ 7/~ï ) ' \ T^ ) ' * ■ * ' 9^^ ^ ^^^ déduit des secondes par un calcul analogue.

Mais ces dernières équations peuvent être intégrées facilement ^ on a d'abord

du dv'

m ~ M^ ™ '" ' d'où

si Ton porte les valeurs de ^^ v^',.--) t^ans l'uncMUelles, il vi(!nl

FONCTIO» s défîmes PAU 1>ES É<JUATIORS DIFFÉRENTIELLES 3

on en déduit, par l'intégration,

MM, \ k' /MM, \ k'

y \ r r 9. \ rr

Cette équation définit une fouclion A s évanouissant avec z et restant synectiquc jusqu'à un certain module R. Si Ton appelle A le maximum du module de la fonction A dans cette étendue, 07i a

On aura donc, à plus forte raison,

, Z^" u\ MA

mod — — <! I . 2 . . . /? . — — - î

ld"u'\ M. A

\ fh" l„ R«

11 en résulte que les séries

~ \dz J„i \ dz- /„ I . !

sont convergentes pour toutes les valeurs de z dont le module est moindre que R. Ces séries définissent des fonctions synectiques dans le cercle de rayon R, et satisfaisant aux équations différentielles proposées.

11 est facile d'évaluer le rayon de convergence R. La fonction /i, s'évanouissant avec ^, reste monodrome jusqu'à ce que deux racines de l'équation (i3) deviennent égales entre elles. Ceci a lieu lorsque la dérivée du premier membre de l'équation (i3) par rapport à i^, ou le premier membre de l'équation (12), devient égal à zéro; les valeurs de h. qui annulent

LIVKE II,

celle dérivée, sont — :> tt^-"'-! t)ii portera la plus petite de ces

valeurs dans Féquation (i3), et l'on en déduira la valeur correspondante R, réelle et positive, de z.

On arrive à une formule très-simple en remplaçant, ce qui est permis, les modules r, /*',..., par le plus petit d'entre eux, et les maxima M, Mj,..., par le plus grand d'entre eux • l'é- (|ualion (12) prend alors la forme

dz

d'où Ton déduit, par F intégration,

(/n + i)ML \ '■ y J ^ \ P

La fonction h reste monodrome jusqu'à une valeur K de donnée par la formule

Les limites de convergence données par notre méthode sont plus étendues que celles qui ont été trouvées par M. Caucliy. C'est un avantage dans l'emploi des séries pour l'intégration.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant :

Théorîsme L — Un système d^ équations différentielles simultanées admet^pour intégrales^ des fonctions synectiques, tant que les coefficients différentiels restent eux-mêmes sjnectiques.