Nous avons démontré que l'équation différentielle

—-:=z:f[u, z) admet une intégrale synectique. Il n'existe pas; {tz

d'autre fonction satisfaisant à l'équation différentielle proposée, et devenant égale à u^ pour z =z z^^. Soit u l'intégrale synectique, et supposons qu'il existe une seconde intégrale que nous représenterons par u -+- 1^, la fonction u s évanouissant

FONCTIOiVS DÉFIJNIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 53

pour z := -Zy , nous aurons

d'où

Puisque le second membre s'annule pour \^=:o, il contient une puissance entière de v en facteur, et l'on a

en supposant que dans le quotient on ait remplacé u et \^ par leurs valeurs en fonction de z. L'intégration le long d'une <"0urbe quelconque donne

cp (s) dz.

Ij'intégrale définie ayant une valeur finie et p*^ devant être nulle, cette égalité est impossible. Quand //i = i, l'équation dilîérentielle devient

d'où

f (z) dz

Puisque i^Q= o, la fonction i^ est identiquement nulle.

Ainsi l'équation didérentielle proposée n'admet pas d'intégrale, prenant la valeur lt^^ pour z r= z^, autre que l'intégrale svnectique.

51 . Pour engendrer la fonction u^ nous partons du point z^y, avec une valeur initiale arbitraire Uq, et nous faisons mouvoir la variable z sur une courbe quelconque dans une porlioii déterminée du plan. Tant que le coefficient diiïérenticl donné J (Uf z) reste synectique pour les valeurs de z et les valeurs <<u respondanles de n, la fonction m, en vertu du théorème pré-

cèdent, reste elle-même syiiec tique. Ainsi, quel que soit le chemin suivi dans celte portion du plan pour aller du point z[^ au point 2, la fonction u a en ce point la même valeur. Mais si, sortant de cette portion du plan, et, suivant un certain chemin, on arrive à un point z^ tel que, pour z = ^1 et w = u^ (z/j étant la valeur correspondante de //), le coefficient différentiel devienne infini, ou se présente sous la forme - ? ou cesse d'être

monodrome, la fonction u éprouvera autour de ce point des modifications, et acquerra des propriétés spéciales, qui se trans' mettront ensuite dans toute Tétenduedu plan.

Cas où le coefficient différentiel devient infini,

52. Nous sommes partis du point z^ avec la valeur initiale z^^. Supposons que, la variable arrivant au point ^i, la fonction acquière une valeur u^ telle que, pour z-=^ z^ et m= «1, le coefficient différentiel/ (m, z) devienne infini, de manière toutefois que son inverse -rr, r reste fini et continu dans le voi-

sinaofe de ces valeurs. Posons

3 = z, -f- z', IL -^iz ay-\- a' ^

Si Ton regarde 2' comme une fonctionde u' ^ celte fonction devra, satisfaire à l'équation différentielle

dz' i

du f[u\ -f- «', z, 4- z') • et admettre la valeur initiale z' = o pour 11^ = o. La fonction

restant finie cl ( ontinue, est développable en une série convergente ordonnée suivani les puissances croissantes de «'et de ^ , cl l'on a

(.1/1 ] '-L ~ nu'"' -j- hz' h en' z + cz"' -h ....

\ du.

FONCTIOK5 défîmes PAR DES ÉQl ATIOINS DIFFÉRENTIELLES 5î>

Si le second membre ne renfermait aucun ternie indépendant de z' ^ l'équation diflérenlielle se mettrait sous la forme

-— ~ z' (b -\- eu' + ez' -\- ,

du'

d'où l'on déduirait

/ /% II'

log -, = I { ^ -i- ^"' + ez' -\- , . . ) du' ,

en appelant zj la valeur de z' qui correspond a.u\ . Quand z' et // tendent vers zéro, le second membre tend vers une valeur finie, tandis que le premier croît indéfiniment. Dans ce cas, réquation dilTérentielle n'admet aucune intégrale s'annulant avec z'.

Ainsi la série renferme au moins un terme indépendant de 2'; nous désignerons par aii'" celui des termes de ce genre du degré le moins élevé. Avec la valeur initiale z' =z o pour u' z= o, l'équation différentielle (i4) définit sans difficulté une fonction de u' synectique dans le voisinage de // = o, et, par conséquent, développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de a'. Soit

z = Aû««H- A, K«-t-i-h . . .

celte fonction. L'équation différentielle devant être satisfaite, si l'on substitue à la place de z' celte valeur, on aura

Ao a u'y—^ -h A, ( a -h I V a'^- . . . = au'"' -f- Z» A„ «'« -h ....

En identifiant ces deux séries, égales pour toutes les valeurs de v! inférieures à un certain module, on déterminera les exposants et les coefficients de la série z' . Les premiers termes

donnent

a: = m.-h ] j Ao —

d'où

Réciproquement, si l'on considère u' comme une fonction de z'f celle fonction sera déterminée implicitement par l'équa-

56 LTVUE II.

lion (i5). A chaque valeur très-petite de z' correspondent [m -f- i) valeurs très-petiles de ii\ ces valeurs sont sensiblement égales aux racines de l'équation binôme

et l'on a approximativement

en désignant par B^ la quantité ï "^ ~^ ^ ) • Posons z' ~ p e^'

et appelons m^ , z/| , z^; , . . . , u'^^ les m -h i valeurs de a' suivant les sommets d'un polygone régulier, savoir :

Quand le point ^^ décrit un cercle très-petit autour du point z'=o^ l'argument augmentant de 2 ?:, u'^ se change en ?// , u\ en a'j , . . . , ii'„^ en u\ . On conclut de là :

Théorème II. — Lorsque^, pour im système de valeurs sùnultanées z^ et u^^ le coefficient différentiel de\^ient injini, si Von désigne par m Tordre de la première dérivée partielle de la

fonction-^ par rapport à u qui ne s'annule pas, la fonction

intégrale u prend m -|-i imleurs qui se permutent les unes dans les autres circulairement^ quand la variable z tourne autour du point z^ ^ après m-\- 1 tours, la fonction re\'ient à sa valeur primitive.

Ainsi s'engendrent les fonctions multiples. Les fonctions algébriques, étudiées par i\J. Puiseux, rentrent dans cette ( atégorie; et en elTet, lorsqu'en un point du plan Féquation admel des ra("ines égales, le coefiicient diifércntiel devient en général infini.

Posons z! r=L z^'"'+'. Quand z' W\\ un tour, r/ en fait /?/ -f- i ,