CHAPITRE

APPLICATION AL'X FONCTIONS SIMPLEMENT PÉUIODIQl ES.

De la fonction e'' .

53. Nous avons démontré que toute équation différentielle engendre une fonction, et indiqué la marche à suivre pour étudier les propriétés de cette fonction. Avant d'aborder l'étude des fonctions doublement périodiques, nous allons, pour faciliter rintelligence de la méthode, considérer quelques équations dillérentielles très-simples, donnant naissance à des fonctions simplement périodiques.

Considérons d'abord l'a fonction définie par Téquation dil-

férentielle

, . du

et admettant la valeur u r^ i pour s = o. l.c {oefiicienl dillërenliel étant une fonclioji svnectique de //, il est clair que, lani

que II conserve une valeur finie, la fonction intégrale u reste elle-même fonction monodrome de z. Mais il est aisé de voir que cette fonction u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z -, car, la fonction inverse étant donnée par rinlcgrale définie

C'i (lu

siws'éloigne à l'infini suivant une ligne quelconque, z va aussi à l'infini. La fonction u définie par l'équation différentielle proposée, restant finie, continue, monodrome et monogène pour toutes les valeurs finies de 2, est u^ne fonction synectique de z, dans toute l'étendue du plan.

Cette fonction est périodique; car à une même valeur de u correspondent toutes les valeurs que peut acquérir l'intégrale définie (2), quand on va du point i au point u par différents chemins ; la fonction , placée sous le signe somme, devenant infinie pour w = o, tous ces chemins peuvent se réduire au chemin rectiligne augmenlé d'un nombre quelconque de fois le contour élémentaire qui enveloppe le point u = o. Si l'on désigne par z l'intégrale rectiligne, et par w l'intégrale l<? long du contour élémentaire, on voit qu'à chaque valeur de u correspondent une infinité de valeurs de z ei\ progression arithmétique, savoir z H- mo), m étant un entier quelconque positif ou négatif. Donc u est une fonction simplement périodique de ^; la période w a pour valeur 2 tt /. On sait que la fonction u n'est autre chose que e% lorsque la variable z est réelle 5 il convient de la représenter par le même signe lorsque la variable devient imaginaire.

Soit Ux la valeur de la fonction pour une valeur déterminée ^1 de la variable; posons z = Zx-\-z'.^ u = Uiu', z' étant une nouvelle variable, li la nouvelle fonction -, l'équation différentielle devient ~~ = z/, et l'on a encore z// = i pour z'=::o. On en conclut u' = (r\ ce qui donne la relation fondamentale

Imaginons que 1 on li ace dan^ le plan des parallèles à Taxe

APrLICATlOJN AUX F0J\CT10x>S SIMPLEMENT PÉRIODIQUES. 5^

ox (fig. 9), à égale distance a iz les unes des autres; ces parallèles partageront le plan en bandes égales. Quand la variable z se meut dans une bande, la fonction e'passe par toutes les valeurs possibles, et une seule fois par chacune d'elles : elle devient infinie si la variable ^s'éloigne à Tinfini vers la droite, nulle au contraire si elle s'éloigne à l'infini vers la gauche. Quand la variable z passe d'une bande à l'autre, la fonction reprend périodiquement la même valeur.

L'équation diiTérentielle —- = au^ avec la condition ii = i

pourz=:o, produirait évidemment la fonction // = c"^.

De la fonction taiig z.

54. Considérons en second lieu la fonclion définie par l'équation différentielle

Fie

et admettant la valeur initiale « = o pour 2 = 0.

La dérivée étant une fonction syneclicpie de 11^ la fonclion intégrale a reste monodrome tant qu'elle conserve une valeur finie. Mais il peut arriver ici que u devienne infinie pour une valeur finie de z ; car l'intégrale définie . ,, f" du

tend vers une valeur finie quand a s'éloigne à l'infini dans une direction quelconque. Soit donc a une valeur finie de z qui rend u infinie \ pour voir ce qui arrive dans le voisinage de ce

point z = a, nous poserons z = a ~h z' , u = -: l'équation difl'ércntielle devient

u se réduisant à zéro pour z' = O'^ la fonction v^ restant nionodrome dans le voisinage du point ^ = a -, il en est de même de la fonction u. Ainsi l'équation différentielle proposée définit une fonction de z monodrome dans toute l'étendue du plan ^ mais cette fonction n'est pas synectique, car elle devient infinie pour des valeurs finies de z.

Celle fonction est périodique -, à une même valeur de a correspondent les valeurs de z données par l'intégrale définie (4) , dans laquelle il faut concevoir que la ligne d'intégration prenne toutes les formes possibles. La fonction ^, placée sous le signe somme, devenant infinie pour

u = -\- i et u = — ï, tous les chemins peuvent se réduire au chemin recliligne augmenté d'un nombre quelconque de contours élémentaires autour de l'un ou l'autre des deux points u = -{- i\ 11= — /• ces deux contours élémentaires donnant la même intégrale w = tt, on voit qu'à chaque valeur de u correspondent les valeurs z -\- m w. Ainsi la fonction u est simplement périodique, et la période est TT. On désigne cette fonction par le signe tang 2, parce que, pour les valeurs réelles de z^ elle se confond avec la tangente trigonométriqut! de l'angle z.

Des parallèles à l'axe desj^, à la distance tt les unes des autres, partageront le plan en bandes égales (Jig- 10) ^ quand la variable z se meut dans une bande, la fonction tang z passe par toutes les valeurs possibles, et une seule fois par chacune d'elles 5 quand la variable passe d'une bande à l'autre, la fonction reprend périodiquement la même valeur. La fonction taiig z n'a qu'un seul zéro et un seul infini dans (■ha(|ue bande, dans la première

le zéro est z ■=:=. o, l'infi

Fig.

nUni z ■=::::-

APPLICATION Al X FONCTIONS SIMPLEMENT PÉllIOUIQLES. 6l

La" fonction tang z est impaire. Car, si dans l'intégrale définie (4), on fait marcher u suivant deux chemins opposés, de part et d'autre de l'origine m =:o, on obtiendra pour z des valeurs égales et des signes contraires^ ainsi tang( — 2;) = — tangz^

f :i'équation ( 5 ) admet pour intégrale

p— tang(3') == — tang U — ^j == tangf ^ — il en résulte la relation

^ \2 / tang

Des fondions sin z et cos z.

55. Proposons maintenant d'étudier la fonction définie par l'équation didérentielle

du

et admettant la valeur initiale a = o pour z =1 o \ on donne en outre la valeur initiale de la dérivée que nous désignerons par Uq. La fonction inverse

du

^0,(^11— a) [u—b) croît indéfiniment avec u ; ainsi u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z -, il reste à examiner ce qui arrive lorsque u s'approche de l'une des valeurs aou. b pour lesquelles le radical n'est plus une fonction monodrome de u. Soit z^ une valeur de z pour laquelle u = a\ posons

l'équation difïérenlielle devient

u! s'évanouissant avec z • la dérivée restant monodrome pour des valeurs suffisamment petites de f/, il est clair que u' est elle-même fonction monodrome de z', dans le voisinage de z' ==. o, et par suite u est fonction monodrome de z (dans le voisinage de la valeur z^. Il en est de même (|uaiid u atteint la