LIVRE

valeur b. On conclut de là que la fonction u, définie par l'équation différentielle proposée, est une fonction sjnectique de z, dans toute l'étendue du plan.

L'intégration présente ici une particularité qu'il est bon de remarquer. Quand la variable z arrive au point z^ pour lequel u = «, on peut concevoir que, z continuant à varier, u conserve la valeur constante «, ou bien varie elle-même, et alors son accroissement est la valeur de z*'^, qui est indépendante du signe du radical. La même remarque s'applique au point b.

Etudions maintenant la fonction^n verse donnée par l'intégrale définie

Nous nous servirons pour cela d'une méthode très-élégante, dont le principe est dû à M. Cauchy, et qui a été appliquée avec beaucoup de succès par M. Puiseux à la recherche des diverses valeurs que peut acquérir une intégrale définie, quand on fait varier la ligne d'intégration.

Dans le plan servant à figurer la varialion de M, marquons les deux points a et b [fi g. Il), qui correspondent aux valeurs u = a^ u=i b. Désignons par (A) le contour élémentaire que l'on obtient lorsque la variable u va en ligne droite de l'origine O à un point très-voisin de a, décrit un cercle très-petit autour de ce point, puis revient à l'origine par la même droite. Désignons de même par (B) le contour élémentaire qui enveloppe le point b, et enfin appelons A et B les valeurs acquises par l'intégrale définie quand la variable u décrit chacun de ces contours avec la valeur initiale U^ du radical. Nous remarquons d'abord que l'intégrale lelative à chacun des petits cercles est infiniment petite. Quand la variable m, après avoir parcouru la droite Ort, décrit un petit cercle autour du point a, le radical change de signe, et il revient à l'origine avec la valeur — U^ 5 dans la seconde partie du mouvement, la droite a O étant parcourue en sens contraire avec un radical changé de signe, les éléments