APPLICATION AUX FONCTIONS SIMPLE.MEIMT PÉRIODIQUES

(le rintégralion se reproduisent avec le même signe, ce qui nous apprend que Tiulégrale A, relative au contour élémentaire (A), est égale à deux fois l'intégrale rectiligne suivant Oa. Les mêmes considérations s'appliquent au contour élémentaire (B).

Cela posé, tous les chemins qui vont de l'origine O à un point quelconque M peuvent être ramenés au chemin rectiligne, précédé, s'il est nécessaire, d'une combinaison quelconque des contours élémentaires (A) et (B) : i" Ceux qui se ramènent au chemin rectiligne OM, sans passer par l'un des points a ou h, donnent l'intégrale rectiligne que nous appellerons z. 2^ Ceux qui se ramènent au contour élémentaire ( A ) suivi du chemin rectiligne OM, donnent pour intégrale A — z-^ car, après le contour élémentaire (A), le radical ayant changé de signe, le chemin rectiligne donne un résultat de signe contraire — z ; ce qui fait A — z. 3*^ Les chemins qui se ramènent au contour élémentaire (B) suivi du chemin rectiligne OM, lonnent de même B — z. 4" Supposons maiutenant que la variable u décrive d'abord le contour élémentaire (A), puis le contour élémentaire (B), et enfin le chemin rectiligne OM ; le premier contour donnera A ^ le radical ayant changé de signe, le second donnera — B-, le radical, ayant changé de signe une seconde fois, a repris à l'origine sa valeur primitive -h U^, de sorte que le chemin rectiligne fournira de nouveau la valeur z ] L 11 tout A — V) -h z. En général, le double contour élémentaire (A) -h (B), précédant un chemin quelconque, augmente l'intégrale de la quantité constante o) = A — B: comme on peut introduire ce double contour autant de fois que l'on veut, on ajoutera à l'intégrale un multiple quelconque de w. On aurait pu revenir à la valeur initiale primitive U^, du radical, en parcourant deux fois successivement le contour ( A) , ou deux fois e contour (B) ^ mais le résultat A — A ou B — B serait nul.

Nous avons trouvé d'abord l'intégrale rectiligne z, que l'on peut augmenter d'un multiple quelconque de w, ce qui fait une aremière série z -h m w. Nous avons trouvé ensuite une seconde valeur A — z, qui, augmentée de même d'un multiple juelconque de o), donne une seconde série A — z -{- m w. La

().i I i\ ni'. II.

Iroisioiuc valeur W z icnlrc dans \vs scv'ws [)r<'t ('(Icnics • < ar on a H — z = A ~~ z — o). Il n'^suiic dv. là (jirà <lia(|n(î va- Icuir (l(^ // corrcspoïKlcnl deux sc'm'K's dr vaUniis de z, savoir z '\ iiKoci A — ^ 4-^//f.) (Ml pio^MTssion aiillinMUi(|ii(\ Ainsi la (on<lion //, dolinlc par rôinalion dillrrcMilicIlc, csl nni^ lonclioii do ?, synccliiiniM'l sinipIcniciH ixMiodiijnc. Dans clia- (\uc hando Ja fnnttion passe dcnx lois par la nirinc valeur, vl la somme des deux valeurs de z <pii dans « liaipie bande doniienl la iuAuk; valeur de //, oui une somnu' eonslanle A, ahslraelion l'aile des iuulli])les de la p<''iio(le r»),

riC). l/é<|ualion pai lienlièr<'

à Lupielle on p)inl les «'ondilions // r - o el H,,:^ i pour r: =r: o, donne naissanee à la lonelion syneeli<pie impaii-e el simplement p<'Miodi(pie, (pie l'on désif^ne par .v/// r. l/inléj^rale reeli-

lij;ne i\v. u = o à n r= i éianl éj;ale à , on a A — tt : d'ailleurs

H = — A *, doue fi) = u 7T. A eliaqiie valeur do u eorrospondoni doux valeurs do r:, dont la sonune (\sl eousiaute el ('j^ale à t: ; on a dono la relation

el , par suite

siii (;r — z) =:= sill 2, »iii [n -{- z) = — sin

/// = ^/ 1 — h\ r(Mpialion di(l('rentielle devient

fil

//ayant lavaleui initiale u' ^== i pour z ~ o. (lotie noinidle lonetiou //est syueeti(pie par rapport à 5, (M siiuj)leiuent p('«riodi- (pie ; on la desij^ne pareo.Ç5. lu rcMnarcjuant (jue daiib TtMpia -

tion {7) // ae(]uiort la \aleurM= 1 pour ::=.-', oneneonelul

0S« =:: Sin I « I

^yyn(:AT^^J^ av\ loivcjiotfs simvlkmekt périodiqles. 65 IJ est facile d'obtenir les relations qui existent entre les fono lions dont nous venons de parler. On a d'abord, en vertudela l 'dation sin' z -f- « os* z =r i ,

Dr cos z = — sin s, D^ sin z =r cos z j doù

D, (rosz 4- / sin 2) =:: / (cos z,-4- / sin z).

Comme d'ailleurs la fonction cos z -+- / sin z se réduit à l'unité pour z = (i, on en conclu l la jelalion

cos z -f- / sin 2 = e*".

Si l'on pobe

«in z

cos s il vient

sin^ z -i- cos' 2

cos^" z

d*ailleuis ^ s'évanouit avet; z, il en résulte cette anirr- r<dalion

sin 2

tanu z ■=. '

cos z

Propriétés (générales des fondions simplement périodiques.

57. Nous venons d'étudier diverses équations difïérenlielles donnant naissance à des fonctions simplement périodiques. C'est ici le lieu de dire quelques mois des propriétés générales des fonctions simplement périodiques.

Il est évident qu'une fonction simplement pérîocJique, monodrome et monogène, devient infinie au moins une fois dans l'inlervalle de chaque période, sans quoi la fonction ne deviendrait pas infinie dans toute l'étendue du plan. Cette fonction doit aussi devenir nulle et passerpar toutes les valeurs possibles.

I>a plus simple des fonctions doublenjent périodiques est m 21 la fonction synectique e ^ , qui admet la période oj. Si l'on Y-iWày^a le plan en bandes égales par des droites parallèles à une même direction arbitraire mnjïéaf» à la distance»», la fonction reprendra périodiquement la même valeur dans chacune de ces bandes aux points correspondants, c'est-à-dire aux points situés sur une parallèle à une même direction , et à

la clistaïue w les unes des autres. La fonction e ^^ ue passe qu'une fois par la même valeur dans cliaque bande-, elle devient infinie pour ^ = -+- oo , et nulle pour z = — oo . La fonction .

tang

ne passe comme la précédente qu'une fois par la même valeur, dans chaque bande. Elle n'admet qu'un seul infini simple et un seul zéjo simple dans chaque bande.

58. Au moyen d'une fonction monodrome simplement périodique (p ( z ) à un seul infini , on peut former une fonction simplementpériodique, ayant la mêmepériode,etdanschaque période, des infinis quelconques a, ê, y,..., et des zéros quelconques en même nombre «, Z?, c, .... Il suifit de prendre la fonction

Lorsqu'une fonction monodrome et monogène a une infinité d'infinis placés en ligne droite et à égale distance j et une infinité de zéros placés aussi sur une ligne droite parallèle à la précédente et à même distance, cette fonction est simplement périodique. Car on peut former une fonction simplement périodi({ue ayant les infinis et les zéros donnés, et, d'après le théorème V (chapitre IV, livre 1), la fonction proposée sera égale à cette fonction périodique multipliée par un rapport constant.

Plus généralement, concevons une fonction y (-s) dont les infinis et les zéros soient disposés par groupes égaux et équidistants , suivant une même direction. Je dis d'abord que, dans chaque groupe, il y a autant de zéros que d'infinis. Supposons, en eflct, que la fonction f[z) contienne un plus grand nombre de zéros que d'infinis 5 on pourra former une fonction simplement périodique F(z), admettant tous les infinis de

J [z) et une partie des zéros : le quotient ttt— ; n'ayant plus